Verallgemeinerte Penroseungleichungen

Forschungsprojekt P 14621Verallgemeinerte PenroseungleichungenHelmuth URBANTKE09.10.2000 Die Penroseungleichung ist ein neues Resultat im Rahmen der Mathematischen Relativithtstheorie. Es gilt für Riemannsche 3-Mannigfaltigkeiten mit nichtnegativern Ricciscalar und einer asymptotisch flachen Region ausserhalb einer kompakten Minimalffliche und lautet: Die totale Energie (die "ADM-Masse") jeder asymptotisch flachen Region ist von unten beschränkt, und zwar durch eine Konstante (oder eine Funktion) mal der Quadratwurzel aus der Oberfläche der Minimalfläche (wobei in der Literatur verschiedene Funktionen auftreten). Dieses Resultat wurde ca. 1970 von Penrose vermutet und kurz darauf von Geroch und von Jang und Wald bewiesen, allerdings unter der sehr einschränkenden Annahme der Existenz eines glatten sogenannten "inversen mittleren Krümmungsflusses". Vor kurzem wurden allgemeine Beweise mit spinoriellen Methoden von Herzlich, und mit anderen funktionalanalytischen Methoden von Huisken und Ilmanen sowie von Bray gefunden. Die oben erwähnten Riemannschen 3-Mannigflatigkeiten können (maximale) 3Geometrien in der Allgemeinen Relativithtstheorie beschreiben, die die Energiebedingung erfüllen und die eine "gefangene Fläche" (ein "schwarzes Loch") enthalten. Wie Penrose bemerkte, stützt seine Ungleichung die Vermutung der sogenannten "kosmischen Zensur". Letztere lautet: Singularitiften, (die sich notwendigerweise in der Zukunft von gefangenen Hichen bilden), bleiben während der zeitlichen Entwicklung "hinter" dem Horizont (vom Unendlichen aus gesehen). Ausserdem stützt die Penroseungleichung die Vorstellung, dass sich Raumzeiten aus reguldren und " generischen" Vakuumanfangsdaten unter Aussendung von Gravitationsstrahlung in Richtung auf die Kerrmetrik hin. entwickeln. In den bewiesenen Versionen der Penroseungleichung gilt die Gleichheit allerdings nicht für Kerr sondern genau für die Schwarzschildmetrik. Dementsprechend findet die Penroseungleichung eine Anwendung als mathernatisches Hilfsmittel um die Eindeutigkeit der Schwarzschildmetrik als statische asymptotisch flache Vakuumlösung zu beweisen. Im gegenständlichen Projekt sollen Verallgerneinerungen der Penroseungleichung gefunden werden, die bisher entweder unbewiesen oder nur unter der unphysikalischen Annahme eines glatten "inversen mittleren Krümmungsflusses" gezeigt sind. Wir planen, den oben erwiihnten drei im Fall des Vakuums benutzten Zugängen zu folgen, wobei wir uns auf den spinoriellen Zugang konzentrieren wollen. Die projektierten Verallgerneinerungen sollen insbesondere elektrische Felder, eine kosmologische Konstante, sowie einen linearen Impuls und den Drehimpuls enthalten. Das bedeutet, dass wir erwarten bessere untere Schranken ffir die Gesamtenergie zu bekommen, die zusfitzlich zu zur Oberfläche des scwarzen Loches auch die elektrische Ladung, die kosmologische Konstante und die Impulse enthalten. Ausserdem planen wir eine vor kurzem erhaltene "konforme Version" des Theorems von der Positivitdt der Masse zu einer Abschdtzung zu verschiirfen die auch die Oberfidche des schwarzen Loches enthält. Wir wollen uns vorerst darauf konzentrieren, these Verallgemeinerungen im statischen und stationken Fall zu erhalten. Wir erwarten, dass diese Fälle nützliche Einsichten in die allgemeine Situation liefern. Ausserdem sollten sie auch direkte Anwendungen auf Eindeutigkeitssiitze ffir stationke Raumzeiten mit Materiefeldern, kosmologischer Konstante sowie Drehimpuls in Gegenwart von schwarzen Löchern haben.