Multigruppenmethoden für die Elektron-Phonon-Kinetik

Forschungsprojekt P 14669Multigruppenmethoden für die Elektron-Phonon KinetikFerdinand SCHÜRRER09.10.2000 In der moderrien Halbleitertechnologie gewinnt die Miniaturisierung der Bauteile (VLSI-Design*) zunehmend an Bedeutung. Die Abmessungen einzelner Komponenten werden vergleichbar mit der Distanz zweier aufeinanderfolgender Wechselwirkungen der Ladungsträger mit dem Kristall. Drift-Diffasionsmodelle, die den Ladungstransport in Halbleitem sehr effizient zu beschreiben vermögen, verlieren in extrem funktional integrierten elektronischen Bauteilen an Genauigkeit. Hier hat die raum-zeitliche Simulation des Ladungstransports mittels kinetischer Gleichungen vom - Boltzmann Typ zu erfolgen. In Femtosekunden Laserexperimenten beeinflussen Nicht-Gleichgewichtsverteilungen longitudinal-optischer Phononen die Verteilungsfunktion der Elektronen. Folglich sind in eine konsistente kinetische Behandlung auch die Entwicklungsgleichungen der Phononenverteilungsfunktionen einzubeziehen. Anstelle einer rein mikroskopischen Behandlung mittels teurer Monte Carlo Methoden entwickeln wir eine mesoskopische Strategie zur Beschreibung der Dynamik wechselwirkender Elektronen und Phononen. Unser Zugang beruht auf den kinetischen Gleichungen von Bloch, Boltzmann und Peierls. Diese sehr vollständige Systembeschreibung erfordert lediglich die Vorgabe der Wirkungsquerschnitte, der Bandstruktur, der Dispersionsrelation der Phononen und des Verunreinigungsprofils. Eine strenge Charakterisierung der Gleichgewichtslösungen der Bloch-Boltzmann- Peierls Gleichungen, die Untersuchung ihrer Eindeutigkeit, sowie eine Stabilitätsanalyse mit ffilfe eines geeigneten Lyapunov Funktionals erachten wir als notwendig. Der Schwerpunkt des Projekts liegt jedoch im Auffinden von Methoden, um diese Gleichungen gekoppelt mit der Poissongleichung für das elektrische Potential selbstkonsistent zu lösen. i Unser Ziel ist es, sowohl räumlich homogene als auch räumlich abhängige Problemstellungen zu behandeln. Zu diesem Zweck entwickeln wir überlappende Multigruppenformalismen für Phononen und Elektronen. Diese Methoden haben den Vorteil, externe Kraftfelder auf natürliche Weise berücksichtigen zu können. Jedoch, anstelle starre Fornübriktionen zu verwenden, versuchen wir, mittels Splines die Energieabhängigkeit der Verteilungsfunktion zu approximieren. In Kombination niit einer Entwicklung der Winkelabhängigkeit der Verteilungsfunktionen nach Kugelfunktionen führen diese Multigruppenansätze auf ein System hyperbolischer Differentialgleichungen. Da hohe elektrische Felder örtliche Unstetigkeiten in den Verteilungsfunktionen hervorrufen können, planen wir, adaptive lokale Schablonen (ENO) oder konvexe Kombinationen von Beiträgen lokaler Schablonen (WENO) zu verwenden. Die zeitliche Diskretisierung kann mittels spezieller Runge Kutta Verfahren vorgenommen werden. Die hier vorgeschlagene Art der Behandlung der Energieabhängigkeit der Verteilungsfunktionen für Elektronen und Phononen (gegenüber einer einfachen Momentemethode) spielt eine Schlüsselrolle in unserem Verfahren. Sie ermöglicht eine genaue Beschreibung von extremen Nicht-Gleichgewichtsphänomenen. * VLSI = very large scale integration

Moderne Halbleiterbauelemente werden zunehmend kleiner und leistungsfähiger. Zur Berechnung des Ladungstransports in diesen Bauelementen spielen Transport-gleichungen vom Boltzmann-Typ eine zentrale Rolle. Sie beschreiben die räumliche und zeitliche Entwicklung der Verteilung von Elektronen und Phononen (Quanten der Gitterschwingungen) in Halbleitern unter Berücksichtigung der Quantenstatistik. Im Projekt wurden deterministische Verfahren zur Lösung dieser Integro-Differentialgleichungen entwickelt. Auf kinetischer Ebene wurden bisher vor allem Monte Carlo Methoden zur Simulation des Ladungstransports verwendet. Die neuen direkten Verfahren liefern im Gegensatz zu stochastischen Methoden Ergebnisse, die frei von statistischen Fehlern sind. Bei der Berechnung von dynamischen Vorgängen oder des Transports in Verarmungszonen ist das ein wesentlicher Vorteil. Die neuen Lösungsverfahren beruhen auf einer Diskretisierung des Phasenraums. Dabei werden Modell- Boltzmanngleichungen gewonnen, die alle wesentlichen Erhaltungssätze der ursprünglichen Transportgleichungen erfüllen. Die Gleich-gewichtslösungen entsprechen den diskretisierten Fermi-Dirac und Bose-Einstein Verteilungen der kontinuierlichen Boltzmanngleichungen. Raum- und zeitabhängig werden die erhaltenen partiellen Differentialgleichungen mit schock-absorbierenden numerischen Verfahren selbstkonsistent mit der Poissongleichung gelöst. Damit lässt sich die Wirkung extremer Dotierungsgradienten mit hoher Genauigkeit erfassen. Mit den entwickelten Methoden können Nichtgleichgewichtsphänomene, die sich aus dem Wechselspiel heißer Elektronen mit heißen Phononen ergeben, präzise vorhergesagt werden. Die Berechnungen liefern neue Erkenntnisse bei hoch-frequenten Schaltvorgängen in Halbleiterbauelementen. Die neuen Verfahren dienen der direkten Device-Simulation, sowie der Bereitstellung von Benchmarks und Transportkoeffizienten für Drift- Diffusionsmodelle. Sie sollen sich kostensparend auf die industrielle Entwicklung nano-strukturierter Bauelemente auswirken. Darüber hinaus stellen die entwickelten Methoden interessante Lösungsansätze für viele Problemstellungen der Gaskinetik dar.