Dynamische Systeme mit unendlichen mittleren Rückkehrzeiten

Forschungsprojekt P 14734 Dynamische Systeme mit unendlichen mittleren RückkehrzeitenMaximilian THALER 27.11.2000 Im Laufe der letzten Jahrzehnte hat sich in den Naturwissenschaften die Einsicht gefestigt, daß sich viele einer deterministischen zeitlichen Entwicklung unterworfene Systeme dem Versuch detaillierter Vorhersagen ihres zukünftigen Verhaltens grundsätzlich entziehen. Umso bedeutender ist die Feststellung, daß derartige "chaotische" Systeme häufig präzise statistische Gesetzmäßigkeiten aufweisen, wie wir sie sonst bei tatsächlich zufälligen Prozessen finden. Die Untersuchung der mathematischen Mechanismen, die für das Auftreten von Zufallsgesetzen in deterministischen Systemen verantwortlich sind, ist daher von grundlegender Bedeutung für das Verständnis einer umfangreichen und vielfältigen Masse mathematischer Modelle in den Naturwissenschaften. Sie bildet die Voraussetzung dafür, diesen Systemen angemessene, also statistische Vorhersagen treffen zu können. Die Mathematik bedient sich dabei erfolgreich der Strategie, sich spezifischen Problemen zunächst im Rahmen prototypischer Modelle zu nähern, die es gestatten, neue Phänomene von anderen technischen Schwierigkeiten isoliert zu studieren. Oft ermöglichen erst die so gewonnenen Einsichten die Behandlung komplizierterer Systeme, indem sie aufzeigen, welche wesentlichen Strukturen es aufzuspüren gilt. Das vorliegende Projekt widmet sich dem Studium von Systemen, in denen einander Phasen chaotischen Verhaltens und lange Abschnitte regulären Verhaltens abwechseln. Dieses in verschiedenen Bereichen anzutreffende Phänomen wird in der physikalischen Literatur als Intermittenz bezeichnet. Mathematisch werden derartige Systeme durch Abbildungen mit unendlichem invarianten Maß modelliert, deren statistische Eigenschaften noch unzureichend verstanden sind. Ziel ist es, mit Methoden der Ergodentheorie und der stochastischen Erneuerungstheorie genauere Einblicke in die hier herrschenden Gesetzmäßigkeiten zu gewinnen. Ganz im Sinne der oben genannten Strategie steht dabei die spezifische Modellklasse eindimensionaler Abbildungen mit neutralen Fixpunkten im Vordergrund des Interesses.

Im Laufe der letzten Jahrzehnte hat sich in den Naturwissenschaften die Einsicht gefestigt, dass sich viele einer deterministischen zeitlichen Entwicklung unterworfene Systeme dem Versuch detaillierter Vorhersagen ihres zukünftigen Verhaltens grundsätzlich entziehen. Umso bedeutender ist die Feststellung, dass derartige `chaotische` Systeme häufig präzise statistische Gesetzmäßigkeiten aufweisen, wie wir sie sonst bei tatsächlich zufälligen Prozessen finden. Die Untersuchung der mathematischen Mechanismen, die für das Auftreten von Zufallsgesetzen in deterministischen Systemen verantwortlich sind, ist daher von grundlegender Bedeutung für das Verständnis einer umfangreichen und vielfältigen Klasse mathematischer Modelle in den Naturwissenschaften. Sie bildet die Voraussetzung dafür, diesen Systemen angemessene, also statistische Vorhersagen treffen zu können. Die Mathematik bedient sich dabei erfolgreich der Strategie, sich spezifischen Problemen zunächst im Rahmen prototypischer Modelle zu nähern, die es gestatten, neue Phänomene von anderen technischen Schwierigkeiten isoliert zu studieren. Oft ermöglichen erst die so gewonnenen Einsichten die Behandlung komplizierterer Systeme, indem sie aufzeigen, welche wesentlichen Strukturen es aufzuspüren gilt. Das vorliegende Projekt widmete sich dem Studium von Systemen, in denen einander Phasen chaotischen Verhaltens und lange Abschnitte regulären Verhaltens abwechseln. Dieses in verschiedenen Bereichen (von der Teilchenphysik bis zum Design von Informationsnetzwerken) anzutreffende Phänomen wird in der physikalischen Literatur als Intermittenz bezeichnet. Mathematisch werden derartige Systeme durch Abbildungen mit unendlichem invarianten Maß modelliert. Deren statistische Eigenschaften unterscheiden sich oft deutlich von den im Alltag vorherrschenden, und Einsichten in diese ungewöhnlichen Gesetzmäßigkeiten können zu technischen Verbesserungen in einer Reihe von Anwendungsgebieten beitragen. Im Laufe des Projekts gelang es, einige Fragen über das Langzeitverhalten solcher Systeme zu beantworten, die wegen des chaotischen Charakters nicht durch Simulationen zu klären sind. Mathematische Beweise liefern Verifikationen, die niemals durch empirische Untersuchungen erbracht werden können. Die dafür erforderlichen Anstrengungen, möglichst gutes Verständnis für Ursachen und Zusammenhänge zu erreichen, führen zudem oft zu neuen Erkenntnissen, die kaum aufgrund von beobachteten Daten zu erzielen sind. Diese Resultate ermöglichen gesicherte Vorhersagen wo andere Zugänge lediglich die Chance verbessern können, richtig zu raten (egal wie subtil die gewählte empirische Methode auch sein mag). Schließlich verbessern die während der mathematischen Untersuchung spezifischer Modelle gewonnenen und in den Beweisen festgehaltenen Einsichten auch unser Verständnis für noch komplexerer Systeme, und damit unsere Fähigkeit auch dort zuverlässige Prognosen zu treffen.