Numerische Stabilitätsuntersuchungen von Strukturen

Der Stabilitätsverlust des Gleichgewichts ist eine häufige Ursache für das Versagen schlanker Rahmen und Bögen sowie dünnwandiger Flächentragwerke. Neben numerischen Methoden der Ermittlung von Stabilitätsgrenzen sind auch Abschätzungen dieser Grenzen aus dem Vorbeulbereich von praktischem Interesse. Die Abschätzungen werden häufig durch Lösung linearer Eigenwertprobleme ermittelt. Die mathematische Basis für die in diesem Projekt zu verwendenden Abschätzungsfunktionen ist die konsistente Linearisierung des statischen Stabilitätskriteriums. Dabei handelt es sich um ein spezielles lineares Eigenwertproblem. Die resultierenden Eigenwerte sind von einem Parameter abhängig. Sie ergeben daher Eigenwertkurven in Abhängigkeit von diesem Parameter, die gegebenenfalls wichtige Informationen über das Verhalten der Struktur beinhalten. Deshalb werden die Eigenwertkurven auch als Mittel zur Untersuchung des Strukturverhaltens herangezogen. Ziele des Projekts sind: * die Untersuchung der mechanischen Bedeutung des Vorzeichens der Krümmung von Eigenwertkurven an Stabilitätsgrenzen in Form von Verzweigungspunkten * die Untersuchung der mechanischen Bedeutung verschiedener Arten von singulären Punkten von Eigenwertkurven in Durchschlagspunkten * die Analyse des Einflusses von Imperfektionen von Strukturen im Wege des Studiums der Beeinflussung der Eigenwertkurven Im ersten Teil des Projektes werden Verzweigungsprobleme behandelt. Die Krümmung der Eigenwertkurven an der Stabilitätsgrenze in Form eines Verzweigungspunktes kann beiderlei Vorzeichen haben. Als Sonderfall kann die Krümmung null sein. Die mechanische Bedeutung des Vorzeichens der Krümmung der Eigenwertkurven an dieser Stelle ist unbekannt. Es scheint, dass kein Zusammenhang zwischen dieser Krümmung und der Eigenschaft der Imperfektions-sensitivität bzw. -insensitivität besteht. Andererseits repräsentiert der zuvor erwähnte Sonderfall den Grenzfall zwischen Imperfektionssensitivität und -insensitivität. Die mechanische Bedeutung der Krümmung der Eigenwertkurve soll untersucht werden. Dabei soll auch der mathematische Beweis für den Grenzfall erbracht werden. Das Verhalten der Eigenwertkurven an Stabilitätsgrenzen in Form eines Durchschlagspunktes wird im zweiten Teil des Projektes behandelt. Die geometrische Form aller bisher numerisch untersuchten Beispiele war von einer "Spitze" der Eigenwertkurve im Durchschlagspunkt gekennzeichnet. Die Krümmung ist dort also unendlich. Es stellt sich die Frage, ob Strukturen existieren, deren Eigenwertkurven im Durchschlagspunkt über einen singulären Punkt in Form einer "Schnabelspitze" verfügen. Sollten solche Strukturen existieren, dann wird der mechanische Hintergrund der Verschiedenartigkeit der singulären Punkte der Eigenwertkurven zu untersuchen sein. Mittels einer singularitätsfreien Parameterisierung läßt sich die Singularität im Durchschlagspunkt umgehen. Als Parameter bietet sich die Bogenlänge an. Alle mittels dieser Parameterisierung bisher untersuchten numerischen Beispiele ergaben eine monoton ansteigende Abschätzungsfunktion im Vorbeulbereich. Daher stellen diese Abschätzungen untere Schranken der Stabilitätsgrenze dar. Der Beweis dieser Monotonität ist eines der Ziele dieses Forschungsprojektes. Die Untersuchung des Einflusses von Imperfektionen an Strukturen bildet den dritten Teil des Projektes. Dabei handelt es sich um ein für technische Anwendungen bedeutendes Ziel, da Ingenieurkonstruktionen stets Imperfektionen aufweisen. Das können Imperfektionen der Geometrie oder der Lasteinleitung sein. Diese Imperfektionen können einen signifikanten Einfluss auf das Strukturverhalten ausüben. Es wird untersucht, inwieweit die erwähnten Eigenwertkurven brauchbare und möglichst "frühzeitige" (d.h. bereits lange vor dem Erreichen der Stabilitätsgrenze sichtbare) Indikatoren des Einflusses von Imperfektionen auf das Tragverhalten sind.