Defektkorrektur-Techniken für steife Differentialgleichungen

Der Einsatz von Beschleunigungs-Techniken bei steifen Differentialgleichungen erscheint zunächst problematisch, da steife Gleichungen auf Grund ihrer Glattheits-Defekte eine komplizierte Diskretisierungsfehler-Struktur besitzen, d.h. typischerweise keine reinen asymptotischen Fehlerentwicklungen aufweisen. So ist beispielsweise schon lange bekannt, dass Extrapolations-Verfahren im `mittelsteifen` Fall versagen. Klassische Versionen von Defektkorrektur-Algorithmen sind zwar bezüglich ihres Funktionierens etwas robuster, haben aber immer noch folgenden gravierenden Nachteil: Für steife Probleme funktionierende superkonvergente Varianten (wie z.B. eine von K.H.Schild vorgeschlagene Variante für glatte Randwertprobleme) sind nicht bekannt. Am Institut für Angewandte und Numerische Mathematik wurden Modifikationen der bisher bekannten Defektkorrektur- Algorithmen vorgeschlagen, die - sogar für steife Probleme mit schwieriger Struktur (allgemeiner als singulär gestörte Standard-Form) - noch gegen superkonvergente Fixpunkte konvergieren. Diese beiden Modifikationen sind: (i) Verwendung eines geeigneten interpolierten bzw. lokal integrierten Defektes, (ii) bei schwierigen Problemen mit nicht-starren steifen Eigenrichtungen eine neue, algorithmisch effizient zu realisierende Defekt-Darstellung. Zu diesen Fragen wurden bereits vielversprechende Experimente durchgeführt. In dem hiermit vorgelegten Projekt sollen nun dazu weitere Vertiefungen erfolgen: (i) Durch entsprechendes systematischeres Experimentieren soll das Funktionieren dieser Defektkorrektur-Variante viel gründlicher erprobt werden, (ii) auf Grund von Analysen mit geeigneten steifen Modellen soll ein theoretisches Verständnis für die neuen Defektkorrektur-Varianten gewonnen werden.

Dieses Projekt diente der Untersuchung von sogenannten Defektkorrekturalgorithmen für die numerische Lösung von Differentialgleichungsproblemen. Diese basieren auf einer Korrektur einer gegebenen Näherungslösung mittels ihres Residuums (oder Defektes) bezüglich der gegebenen Differentialgleichung. Es gibt jedoch eine Reihe von Möglichkeiten, diesen Defekt zu berechnen, die zu signifikant verschiedenen Ergebnissen führen können, insbesondere wenn nicht-äquidistante Gitter beteiligt sind oder wenn steife Probleme vorliegen. Eine Reihe von Varianten wurde in diesem Projekt implementiert und numerisch evaluiert, insbesondere in Zusammenhang mit steifen Differentialgleichungen unterschiedlichen Schwierigkeitsgrades. Weiters wurde die Konvergenz der sogenannten Methoden der Defekt-Quadratur und der Defekt-Interpolation (basierend auf dem impliziten Euler- Verfahren) bei glatten Problemen erfolgreich und positiv analysiert. Beide Methoden konvergieren gegen nicht- äquidistante Kollokationsverfahren, also z.B. solche vom superkonvergenten Typus. Im steifen Fall ist die Analyse sehr aufwendig, und daher wurde diese auf ein skalares Modellproblem beschränkt, wobei für die Defektkorrektur- Varianten Kontraktionsgebiete (ähnlich zur A-Stabilität) angegeben wurden. Es ergaben sich auch einige Synergieeffekte mit Projekt-Nr. P 15072-N05, in dem ähnliche Techniken für die Konstruktion von a-posteriori Fehlerschätzern für Kollokationsverfahren (insbesondere für singuläre Probleme) eingesetzt wurden.