Ideale von Polynomen und assoziierte Differentialoperatoren

Idealen in Polynomringen (in n Variablen, mit Koeffizienten in einem Körper der Charakteristik 0) können in natürlicher Weise gewisse Moduln (über diesen Polynomringen) von Differentialoperatoren zugeordnet werden. In diesem Projekt soll diese Zuordnung (mit Methoden der kommutativen Algebra, der linearen Algebra und der Computeralgebra) ausführlich untersucht werden. Es soll ein Algorithmus zur Berechnung eines Erzeugendensystems dieser Moduln von Differentialoperatoren entwickelt und in MAPLE implementiert werden. Für gewisse Ideale der (Krull-) Dimension 0 wurde ein solcher Algorithmus von Marinari, Möller und Mora entwickelt. Es soll ein "Lexikon" erarbeitet werden, mit dem man Eigenschaften des Ideals aus solchen des entsprechenden Moduls von Differentialoperatoren ablesen kann (und umgekehrt). Diese Fragestellung (und die Lösung eines Spezialfalls) geht auf W. Gröbner zurück, der auf diese Weise Probleme der kommutativen Algebra mit Methoden der Analysis lösen wollte. Sie wurde später von anderen Autoren im Hinblick auf Anwendungen in den Gebieten der mehrdimensionalen Interpolation, der partiellen Differentialgleichungen und der mehrdimensionalen Systemtheorie wieder aufgegriffen. Die von Palamodov und Oberst studierten Noetherschen Operatoren eines Ideals sind im Fall der Dimension 0 ein Erzeugendensystem des Moduls der assoziierten Differentialoperatoren. Im Fall positiver Dimension sollen die Zusammenhänge zwischen Noetherschen Operatoren und diesen Moduln noch geklärt werden.

Es ist wohlbekannt, dass ein Untervektorraum eines endlichdimensionalen Vektorraums U entweder durch eine endliche Basis oder durch ein System linearer Gleichungen gegeben werden kann. Analog dazu kann ein Ideal in einem Polynomring entweder durch ein endliches Erzeugendensystem oder durch das von F. Macaulay vor fast hundert Jahren eingeführte "inverse System" beschrieben werden. Die Elemente des inversen Systems können als Differentialoperatoren interpretiert werden. Genauer: Sei I ein Ideal in einem Polynomring F[s]:=F[s1 ,...s n ] in n Unbekannten und mit Koeffizienten in einem beliebigen Körper F. Das inverse System von I ist der Vektorraum aller F-linearen Abbildungen von F[s] nach F, die das Ideal auf 0 abbilden. In diesem Projekt wurde das inverse System von nulldimensionalen Idealen (das sind Ideale mit der Eigenschaft, dass das entsprechende polynomiale Gleichungssystem nur endlich viele Lösungen besitzt) ausführlich studiert. Unter Verwendung der Theorie der Gröbnerbasen wurde ein Verfahren entwickelt, eine Basis des inversen Systems als F-Vektorraum (auf diese Weise wird das inverse System durch endlich viele Daten beschrieben) zu bestimmen, ohne die Nullstellen von I berechnen zu müssen. Weiters wurde ein Algorithmus entwickelt, der ein minimales Erzeugendensystem des inversen Systems als F[s]-Modul berechnet (dieses Erzeugendensystem erlaubt eine noch viel kompaktere Darstellung des inversen Systems). Als Anwendung des inversen Systems wurde die für Polynome in einer Variablen wohlbekannte (und viel verwendete) quadratfreie Zerlegung auf nulldimensionale Ideale verallgemeinert und ein Verfahren zu ihrer Berechnung angegeben. Wie im Fall von Polynomen in einer Variablen ist auch bei diesem Verfahren die (aufwendige und praktisch oft undurchführbare) Berechnung der Nullstellen des Ideals nicht notwendig. Alle entwickelten Algorithmen wurden im Computeralgebrasystem Maple 8 implementiert. Dazu wurde ein Softwarepaket mit detailliertem Kommentar erstellt.