Mehrdimensionale Kettenbrüche

C. G. J. Jacobi (1804-1851) war vermutlich der erste Mathematiker, der mehrdimensionale Kettenbrüche untersuchte. Sein Ziel war vor allem, den berühmten Satz von Lagrange über die Charakterisierung quadratischer Irrationalzahlen als periodische Kettenbrüche zu verallgemeinern. Er stellte einen Algorithmus für Paare reeller Zahlen auf und hoffte, dass dieser Algorithmus genau dann periodisch wird, wenn beide Zahlen zu einem kubischen Zahlkörper gehören. Jacobi konnte dafür einige Beispiele angeben, aber es gelang ihm nicht, eine Verallgemeinerung des Satzes von Lagrange zu beweisen. Tatsächlich ist diese Frage ein bis heute ungelöstes Problem! Seit Jacobi wurde eine große Zahl mehrdimensionaler Kettenbrüche vorgeschlagen und untersucht. In den letzten Jahren waren mehrdimensionale Kettenbrüche auch für Physik (Renormalisationstheorie, Perkolationstheorie) und für numerische Mathematik (Additionsketten) von Interesse. Eine zusammenfassende Darstellung der algebraischen und ergodischen Eigenschaften unter Berücksichtigung der jüngsten Forschungen findet sich in Schweigers Monographie Multidimensional Continued Fractions. Die vorgeschlagenen Forschungen sollen sich an folgenden drei Problemkreisen orientieren. Invariante Maße: Für zahlreiche Algorithmen ist das invariante Maß bekannt. Aber gerade für den Jacobi- Perronschen Algorithmus konnte bis heute keine "schöne" Formel für das invariante Maß angegeben werden. Die Integrationstheorie von Maßen, die auf fraktalen Mengen konzentriert sind, könnte hier weiterhelfen. Diophantische Eigenschaften: Mehrdimensionaler Kettenbrüche erzeugen unendlich viele Punkte mit rationalen Koordinaten. Es stellt sich die Frage, wie gut diese Punkte approximieren. Lagarias konnte zeigen, dass die Lyapunovexponenten des entsprechenden ergodischen Prozesses eine Rolle spielen. Für 2-dimensionale Algorithmen sind inzwischen einige wichtige Ergebnisse gefunden worden. Für die Dimension 3 ist die Lage schlechter. Schratzberger konnte den multiplikativen Brunschen Algorithmus erfolgreich bearbeiten. Es ist wichtig, weitere Algorithmen zu studieren und eine Vereinfachung der verwendeten Methode anzustreben, um Resultate für höhere Dimensionen zu erzielen. Singularisierung: Für 1-dimensionale Kettenbrüche hat Kraaikamp in zahlreichen Arbeiten gezeigt, dass die Methode der Singularisierung zum Verständnis der Beziehungen zwischen verschiedenen Arten von Kettenbrüchen beitragen kann. Es ist zu untersuchen, ob sich dieser Weg auch für mehrdimensionale Kettenbrüche als fruchtbar erweist.

In der Zahlentheorie ist die Frage nach der Approximation reeller Zahlen durch rationale Zahlen von größter Bedeutung. Dieses Spezialgebiet wird Diophantische Approximation genannt, zu Ehren des bedeutenden griechischen Mathematikers Diophantos von Alexandria. Im eindimensionalen Fall (Approximation einer reellen Zahl durch rationale Zahlen) steht mit der Theorie der Kettenbrüche ein bewährtes Mittel zur Verfügung, wobei es neben den regulären Kettenbrüchen zahlreiche Varianten gibt. Für den mehrdimensionalen Fall (Approximation von mehreren reellen Zahlen durch rationale Zahlen mit gemeinsamem Nenner) wurden beginnend mit dem Algorithmus von Jacobi verschiedene Algorithmen vorgeschlagen. In diesem Projekt wurden neue Ergebnisse für den zweidimensionalen Fall erzielt. Die Güte der Approximation wurde für den Algorithmus von Selmer und für den Algorithmus von Selmer-Greiter bestimmt. Weiters wurde die Existenz einer interessanten Menge, die an Fraktale erinnern mag, für einen subtraktiven Algorithmus aufgezeigt. Es wurde erstmals die Methode der Singularisation, die im eindimensionalen Fall verschiedene Varianten der Kettenbrüche miteinander verbindet, auf zweidimensionale Algorithmen ausgedehnt.