Numerische Algorithmen in Computational Micromagnetics

Die Magnetisierung eines Ferromagneten wird durch die Gleichung von Landau, Lifshitz und Gilbert (LLG) phänomenologisch modelliert. Dieses etabilierte Modell berücksichtigt die Effekte, die durch magnetische Austauschenergie, Anisotropie, Streufelder und äußere Magnetfelder hervorgerufen werden, mittels der Landau- Lifshitz-Energie, die dem magnetischen Material zugewiesen wird. Es ist weithin anerkannt für die Beschreibung von dynamischen Prozessen innerhalb des Mikromagnetismus. Die numerische Simulation von Mikromagnetismus ist ein aktuelles Forschungsgebiet, in dem es darum geht, zuverlässige und stabile Methoden zu entwickeln, um magnetische Mikrostrukturen oder deren erwarte Struktur zu berechnen. In der jüngsten Forschung wurden stabile numerische Verfahren im stationären Mikromagnetismus entwickelt, wobei erste mathematische Studien für (LLG) erst in der letzten Zeit stattgefunden haben und weiteren Einsatz und eine Weiterentwicklung erfordern. Dies steht im scharfen Kontrast zu der Entwicklung bei der Berechnung von Elektromagnetismus, wo die Numerik hauptsächlich auf empirischer Erfahrung fußt. Das vorgeschlagene Projekt soll sich mit der mathematischen Begründung solcher Simulationen beschäftigen, deren Wichtigkeit in absehbarer Zeit für weitere moderne Technologien bereits sichtbar ist. Als Grundlage sollen sowohl die mathematische Erfahrung für den stationären Fall als auch die für zeitabhängige Probleme genutzt werden sowie ferner die praktische Erfahrung des Kooperationspartners. Insgesamt können wir drei Ziele des Projekts festschreiben: (i) Entwicklung und Analysis von stabilen und effizienten Diskretisierungen zur numerischen Lösung von (LLG), sofern die Effekte der Austauschenergie vernachlässigt werden. (ii) Studium von `Level set` Methoden für das stationäre Problem, um aus berechneten makroskopischen Größen mikroskopische Informationen zu erhalten. (iii) Entwicklung und begründende Analysis für eine adaptive Zeitdiskretisierung von (LLG) anhand eines Modellbeispiels in 1D.

Das Verständnis mikromagnetischer Phänomene ist von großer Bedeutung für die Entwick-lung und Verbesserung moderner Speichermedien (wie z.B. Festplatten in Computern) oder auch magnetischer Sensoren (z.B. zum Einlesen von Fingerabdrücken). Da die Realisierung neuer Hardware-Prototypen sehr kostenintensiv ist, zahlt es sich aus, neue Vorhaben zunächst am Rechner numerisch zu simulieren. Das FWF-Projekt "Zuverlässige und effiziente numerische Algorithmen in Computational Mic-romagnetics" (Projektnummer P15274-N12) befasste sich mit der mathematischen Fundierung und der Entwicklung numerischer Verfahren zur Simulation mikromagnetischer Phänomene: Dabei heißt ein Algorithmus zuverlässig, wenn er eine rigorose Fehlerkontrolle für die Zielgröße der Simulation erlaubt. Im Mikromagnetismus ist die Zielgröße die Magnetisierung m, ein Vektorfeld, das auf einem ferromagnetischen Körper lebt und dessen magnetische Eigenschaften charakterisiert. Eine numerische Simulation liefert stets eine diskrete Approximation m h von m, die von einer Triangulierung des Körpers abhängt. Ein Ziel des Projekts war daher die Entwicklung von adaptiven Algorithmen, die die Verfeinerung der Triangulierung selbständig handhaben und gleichzeitig eine Fehlerkontrolle für m - m h bereitstellen. Bei vorgegebener Fehlertoleranz erlauben solche Algorithmen die Berechnung einer Approximation m h von m. Mathematischer Hintergrund der entwickelten Algorithmen sind dabei a posteriori Fehlerabschätzungen, bei denen die obere Schranke für den Fehler m - m h nur von berechenbaren Größen abhängt - insbesondere also nicht von der (im allgemeinen unbekannten) exakten Lösung m. Ein numerisch aufwändiger Punkt in mikromagnetischen Simulationen ist die notwendige Berechnung des Streufelds H, das durch eine Magnetisierung m selbstinduziert wird. Unter der Annahme, dass die Triangulierung des Körpers aus N Elementen besteht, benötigt die numerische Berechnung des Streufelds Hh zu einer diskreten Magnetisierung m h N2 arithmetische Operationen und ebenso quadratischen Speicheraufwand. Verfeinert man also das Netz, um eine bessere Approximation von m zu erhalten, so führen doppelt so viele Elemente auf die vierfache Simulationszeit und vierfachen Speicheraufwand. In der Vergangenheit waren Simulationen daher häufig durch die Rechenzeit und den Speicheraufwand begrenzt. Dieser Flaschenhals konnte aber im Zuge des Projekts überwunden werden: Mittels gewisser Datenkompressionstechniken (sog. Hierarchische Matrizen) kann die Berechnung von Hh mit linearem statt quadratischem Rechen- und Speicheraufwand durchgeführt werden. Dabei kann der Kompressionsfehler mathematisch so kontrolliert werden, dass die Algorithmen nicht ihre Zuverlässigkeit verlieren. Aus der numerischen Evidenz des Projekts schließen wir, dass hierarchische Matrizen auch bei der Simulation von Elektromagnetismus zukünftig eine zentrale Rolle spielen werden.