Planare Fastringe: Theorie und Anwendungen

Planare Fastringe sind eine spezielle Klasse "algebraischer Strukturen", also "Systeme von Dingen, mit denen man so rechnen kann, als ob es Zahlen wären". Diese planaren Fastringe haben ganz besondere Eigenschaften und Anwendungen; man erhält aus ihnen auf einfache Weise Teilkollektionen ("Blöcke") der Menge aller ganzen Zahlen von 0 bis zu einem v-1, die alle gleich groß sind und sodaß jeder der v Zahlen 0,1,2,3,...,v-1 immer in gleich vielen der Teilkollektionen enthalten sind; {0,1,2,3,...,v-1}, zusammen mit diesen Blöcken, bildet dann eine sog. "taktische Konfiguration", meist jedoch sogar ein "Balanced Incomplete Block Design" (BIB-Design). Dies kann für statistische Zwecke eingesetzt werden: Will man etwa eine bestimmte Anzahl k von Düngemittelkomponenten auf ihre Wirksamkeit testen, so erfordert dies eine große Zahl statistischer Tests: kein Dünger, eine Düngemittelkomponente, genau 2 Düngemittelkomponenten, etc. Mit einem BIB-Design obiger Bauart braucht man wesentlich weniger, nämlich nur v Tests (typisch ist eine Ersparnis von 90%), indem man die Blöcke als B1, B2, ..., Bk anordnet und auf dem Testfeld Nr. i genau die Düngemittel Nr. j aufbringt, für die i im Block Bj enthalten ist. Wir warten auf die Zeit der Ernte; aus den Erträgen in den Testfeldern 0,1,2,3,...,v-1 kann man dann leicht mit statistischen Standardmethoden die Wirkung jeder Düngemittelkomponente herausrechnen. Diese Zusammenhänge und Anwendungen auf das Design statistischer Experimente sollen in dem Projekt genauer untersucht werden. Zum Beispiel möchten wir weitere Konstruktionsprinzipien finden und untersuchen, sodaß eine wesentlich größere Flexibilität bei der Erstellung von BIB-Designs für statistische Zwecke erreicht werden kann. Planare Fastringe sind aber auch für sich selbst interessant. Ihre Struktur ist immer noch zuwenig untersucht, und es bestehen interessante Querverbindungen zu anderen Teilen der Algebra (bes. zu Frobenius-Gruppen), zur Kombinatorik und zur Geometrie (planare Fastringe eignen sich hervorragend als Koordiantenbereiche gewisser geometrischer Ebenen). Derzeit gibt es 3 Zentren, in denen planare Fastringe eingehend studiert werden: Hamburg, Tainan (Taiwan) und Linz. Wir planen durch eine Reihe gegenseitiger Besuche und gemeinsamer Work-shops, die gesammelte Power aller Zentren zu vereinigen. Zusätzlich wurde in Linz ein Computer-Algebra Paket ("SONATA") entwickelt, mit dem nun erstmalig großangelegte Untersuchungen planarer Fastringe möglich sind. Diese einmalige Chance einer Errichtung eines "Welt-Zentrums für planare Fastringe" sollte man sich nicht entgehen lassen!

Jede mögliche logische Funktion kann aus den drei Funktionen UND, ODER und NICHT zusammengebaut werden. Zum Beispiel kann jede Funktion, die eine Abfolge von Nullen (0 für falsch) und Einsen (1 für wahr) der Länge, sagen wir 7, nach 0 oder 1 abbildet, durch eine Komposition der obigen drei einfachen Funktionen ausgedrückt werden. Diese Tatsache der Booleschen Algebra ist seit langem bekannt. Sie ist der Grund, warum Computerchips für alle möglichen Arten von Berechnungen die gleichen elektrischen Schaltungen verwenden können. Mathematiker aus Linz, Dresden, Novi Sad and Oxford haben nun gezeigt, dass jede Funktion auf einer endlichen Menge aus drei Basisfunktionen zusammengesetzt werden kann: einer Art von Addition, Subtraktion und einer Permutation von Elementen der Menge. Es spielt normaler Weise nicht eimnal eine Rolle, welche Permutation als dritte Basisfunktion gewählt wird. Falls die Menge groß genug ist, leistet eine zufällig gewählte Permutation mit ziemlicher Sicherheit das Gewünschte. Das ist nur ein Resultat über Funktionen, die aus einer gegebenen Menge von einfacheren Funktionen zusammengebaut werden können - ein Themengebiet, das unsere Forschungsgruppe am Institut für Algebra in Linz untersucht hat. Das Rechnen mit Dingen auf "sonderbare Art" ist die Spezialität unserer Forschungsgruppe, und wir benutzen abstrakte Algebra für konkrete Anwendungen. Ein Beispiel: Wie kontrolliert man, welche Inhaltsstoffe bestimmte Effekte in einem Lack verursachen? Die einfache Lösung wäre, alle möglichen Kombinationen zu mischen und ihre Eigenschaften zu bestimmen. In der Praxis ist es jedoch zu aufwändig und kostspielig, alle Mischungen zu untersuchen. Die Theorie der statistischen Designs stellt nun Methoden bereit, um die Wirkung einer von sieben möglichen Substanzen durch die Betrachtung von nur einigen bestimmten Kombinationen dieser sieben festzustellen. Entscheidend ist dafür die Wahl der Kombinationen - so wenige wie möglich, um das Testen billig zu halten, jedoch genügend viele, um alle Wechselwirkungen zwischen den Zutaten beobachten zu können. Aufgrund des Forschungsprojekts in Linz wissen wir nun besser darüber Bescheid, warum bestimmte Arten der Auswahl so effizient sind, und wir haben neue, leicht zugängliche Pläne für das Testen entwickelt.