Ziffernsysteme, Tilings und seminumerische Algorithmen

Ziffernsysteme sind bekannte mathematische Objekte, die ihren Ursprung in Problemen des täglichen Lebens haben. Beginnend mit den q-adischen Entwicklungen wurden in der Literatur auch andere Varianten von Ziffernsystemen wie zum Beispiel kanonische Ziffernsysteme und Betaentwicklungen studiert. Im vorliegenden Projekt wollen wir das Studium diverser Eigenschaften dieser Ziffernsysteme fortsetzen. Dazu werden Methoden aus den verschiedensten Teilbereichen der Mathematik wie zum Beispiel Zahlentheorie, Topologie, Funktionentheorie, Symbolic Computation, Automatentheorie und Fraktale Geometrie, benötigt. Die Charakterisierung aller Zahlen, die als Basen von kanonischen Ziffernsystemen oder Betaentwicklungen auftreten können, ist ein schwieriges Problem. Unter Verwendung einer Verallgemeinerung, die sowohl kanonische Ziffernsysteme alsauch Betaentwicklungen als Spezialfälle enthält, möchten wir im Rahmen des vorliegenden Projektes neue Charakterisierungsresultate erzielen. Neue Ergebnisse auf diesem Gebiet legen nahe, dass man zu diesem Zweck bestimmte Mengen mit fraktaler Struktur studieren muss. Sowohl kanonischen Ziffernsystemen alsauch Betaentwicklungen kann man in natürlicher Weise fraktale Tiles zuordnen. Im Allgemeinen sind die kanonischen Ziffernsystemen zugeordneten Tiles besser verstanden als die den Betaentwicklungen zugeordneten. Durch die Definition einer allgemeineren Klasse von Tiles, die beide Klassen dieser Tiles enthält, hoffen wir, Ergebnisse, die im Falle der kanonischen Ziffernsysteme erzielt werden konnten, auf den Fall der Betaentwicklungen übertragen zu können. Die genannten Tiles haben im Allgemeinen fraktale Struktur. Wir möchten diese Tiles bezüglich ihrer topologischen Eigenschaften studieren. Insbesondere sind wir an Kriterien für die Nichttrivialität der Fundamentalgruppe interessiert. Sowohl im Zusammenhang mit dem Basischarakterisierungsproblem alsauch beim Studium der topologischen Eigenschaften spielen gewisse seminumerische Algorithmen eine zentrale Rolle. Diese Algorithmen sollen mit Hilfe eines Computeralgebrasystems implementiert werden. Ein weiteres Thema des vorliegenden Projektes stellt das Studium der Ziffernsummenfunktion verallgemeinerter Ziffernsysteme dar. Wir wollen Resultate, die für die q-adische Ziffernsumme bekannt sind, auf allgemeinere Ziffernsysteme übertragen. Manche Resultate dieser Art wurden bereits in der Vergangenheit gezeigt. In den Beweisen dieser Resultate spielen die Eigenschaften der den Ziffernsystemen zugeordneten Tiles immer wieder ein große Rolle. Andere Hilfsmittel die zum Beweis von Sätzen über verallgemeinerte Ziffernsummenfunktion benötigt werden sind zum Beispiel Abschätzungen von Exponentialsummen oder die Hardy-Littlewood Methode.