Macdonald Polynome und q-hypergeometrische Reihen

Das hauptsächliche Ziel dieses Projektes war die Untersuchung der Macdonald Polynome (die eine Familie symmetrischer mehrdimensionaler orthogonaler Polynome darstellen, welche von I. G. Macdonald in den Achtzigerjahren des 20. Jahrhunderts eingeführt wurden), wobei ihre Verbindung zu den (mehrdimensionalen) q- hypergeometrischen Reihen besonders herausgestrichen wurde. Insbesondere wurde gezeigt, dass die Pieri Formel für Macdonald Polynome und ihre kürzlich entdeckte Inverse, eine Rekursionsformel für Macdonald Polynome, beide mehrdimensionale Verallgemeinerungen der terminierenden 6-phi-5 Summationsformel darstellen. Einige neue verwandte Identitäten, u.a. mehrdimensionale Verallgemeinerungen der Jackson`schen 8-phi-7 Summation, wurden hergeleitet. Durch die q-hypergeometrische Analyse motiviert, wurde eine Verallgemeinerung der Macdonald Polynome auf Macdonald symmetrische Funktionen, die durch Partitionen mit komplexen Teilen indiziert sind, vorgeschlagen. Letztere scheinen offenbar schöne Eigenschaften zu besitzen, darunter Verallgemeinerungen der Macdonald (Ex-)Vermutungen. Unter den anderen Resultaten dieses Projekts wurden einige explizite Determinanten mit elliptischen Eintragungen ausgewertet, welche zu affinen nicht-exzeptionellen Wurzelsystemen assoziiert sind und die Weyl`schen Nennerformeln elliptisch verallgemeinern. Einige dieser elliptischer Determinantenauswertungen sind neu, sogar im polynomialen Spezialfall, während andere neue Beweise für die Macdonaldidentitäten für die sieben unendlichen Familien von irreduziblen reduzierten affinen Wurzelsysteme liefern. Außerdem konnte Christian Stump in seiner Dissertation "q,t-Fuß-Catalan numbers for finite reflection groups" (an der Universität Wien im September 2008 verteidigt) die q,t-Fuß-Catalan-Zahlen, die im Typ A als bigraduierte Hilbertreihen eines zur symmetrischen Gruppe S_n assoziierten Moduls definiert werden können, auf endliche Spiegelungsgruppen verallgemeinern, womit er ein Problem von Mark Haiman löst. Er zeigt weiters, dass diese q,t- Fuß-Catalan-Zahlen, die symmetrsiche Polynome in den zwei Unbestimmten q und t darstellen, schöne algebraische und kombinatorische Eigenschaften (einige davon nur mutmaßlich) aufweisen.