Anwendungen der Mathematischen Logik in der Algebra

Eine algebraische Struktur besteht aus einer Grundmenge A (zB die natürlichen Zahlen, die Punkte des dreidimensionalen Anschauungsraums, die 2-elementige Menge der Wahrheitswerte {wahr, falsch}, etc.) sowie aus einer Menge F von "Operationen" auf A (z.B. Addition oder Multiplikation im ersten Fall, Konvexkombination oder Translation im zweiten Fall, Negation oder Disjunktion im dritten). Das Ziel dieses Projekts ist es, die Familie ALLER algebraischen Strukturen auf einer vorgegebenen Grundmenge A zu untersuchen. Wenn wir zwei solche Strukturen identifizieren, die dieselben Termfunktionen haben, dann ist die Famile aller dieser Strukturen in natürlicher Weise als ein vollständiger algebraischer Verband (genannt: "Cl(A)") angeordnet, über dessen Struktur noch wenig bekannt ist. Es gibt bereits viele tiefgehende Resultate über Cl(A) für den Fall, dass A eine ENDLICHE Menge ist; diese werden meist durch rein algebraische Methoden erhalten (zusammen mit einfachen Abzählargumenten oder anderen kombinatorischen Überlegungen). Einige neuere Resultate deuten an, dass der Fall einer unendlichen Grundmenge A deutlich anders gelagert ist; es werden jedenfalls Methoden der mathematischen Logik (insbesondere: der Mengenlehre) notwendig sein, um die Struktur von CI(A) zu analysieren. Vorläufige Resultate deuten bereits darauf hin, dass Methoden und Begriffe aus der klassischen Deskriptiven Mengenlehre, aus der infinitären Ramsey-Theorie, sowie die "Forcing"-Methode ("Erzwingungsmethode") eingesetzt werden können, um CI(A) zu untersuchen. Wie auch im endlichen Fall wäre eine wichtige Anwendung das Aufstellen eines VOLLSTÄNDIGKEITSKRITERIUMS: Wie kann man es einer vorgegebenen Menge F von Operationen auf A ansehen, ob sie vollständig ist, d.h., ob jede andere Operation auf A durch Verknüpfung von Elementen aus F dargestellt werden kann?