Streutheorie für Jacobioperatoren

Unser Ziel ist es direkte und inverse Streutheorie für Jacobioperatoren, die kurzreichweitige Störungen von finite- gap quasiperiodischen Operatoren sind, zu entwickeln. Wir wollen die zugehörigen Gelfand-Levitan-Marchenko- Gleichungen herleiten und notwendige und hinreichende Bedingungen für die Streudaten finden, damit sie die Koeffizienten eindeutig bestimmen. Dann sollen diese Resultate auf das zugehörige Anfangswertproblem der Toda- und Kac-van Moerbecke-Hierarchie angewendet werden; insbesonders auf die Untersuchung des Langzeitverhaltens mittels eines Riemann-Hilbert Zugangs.

Direkte und inverse Streutheorie für eindimensionale Schrödinger- und Jacobi- (diskrete Schrödinger)Operatoren ist ein klassisches Thema aus der Quantenmechanik. Dabei geht es darum, das Potential einer Störung durch Vergleich der ungestörten mit der gestörten Evolution zu ermitteln. Das erste Hauptziel des Projekt war es, direkte und inverse Streutheorie für Jacobi-Operatoren die kurzreichweitige Störungen von periodischen Operatoren sind, zu entwickeln, und diese Ergebnisse auf das entsprechende Anfangswertproblem der Toda- und Kac-van Moerbeke-Hierarchien anzuwenden. Als wichtigste Ergebnisse wurden minimale Streudaten gefunden, die den gestörten Operator eindeutig festlegen inklusive einer vollständigen Behandlung der inversen Streutransformation für die gesamte Toda-Hierarchie. Das zweite Hauptziel war eine Stabilitätsanalyse von Solitonen des Toda-Gitters auf einer periodischen Hintergrundlösung. Zuvor bestand die Meinung, dass sich ein gestörtes periodisches integrables System asymptotisch in eine Anzahl von Solitonen plus einen abnehmenden Strahlungsanteil aufspaltet. Wir konnten zeigen, dass das nicht der Fall ist: der Strahlungsanteil nimmt nicht ab, sondern manifestiert sich asymptotisch durch eine Modulation der periodischen Hintergrundlösung. Wir konnten eine explizite Formel für diese Lösung mithilfe von Abel`schen Integralen auf der zugrundeliegenden hyperelliptischen Riemann`schen Fläche angeben und numerisch die Richtigkeit belegen. Unsere Untersuchungen beziehen sich auf die Toda-Gleichung, aber die gleichen Methoden und Ideen sind auch auf andere Solitonengleichungen in einer Dimension (z.B. auf die Korteweg-de Vries-Gleichung) anwendbar.