Klone auf unendlichen Mengen

Eine universelle Algebra besteht aus einer Grundmenge X und Funktionen, auch genannt Operationen, auf dieser Menge, von denen jede nur eine endliche Anzahl von Variablen hat. Beispiele für universelle Algebren sind die Grundmenge der natürlichen Zahlen mit der gewöhnlichen Addition als einziger Operation, die zweielementige Menge {0,1} mit der logischen Operation UND, und Vektorräume. Während sich andere Teilgebiete der Algebra mit speziellen algebraischen Strukturen beschäftigen, wie zum Beispiel die lineare Algebra mit den erwähnten Vektorräumen, erforscht das Gebiet der universellen Algebra hauptsächlich die Zusammenhänge zwischen allen universellen Algebren. In diesem Kontext werden zwei universelle Algebren gewöhnlich als äquivalent betrachtet, wenn sie mit ihren jeweiligen Basisoperationen dieselben Termoperationen generieren. Fixiert man eine Grundmenge X, so bezeichnet man eine Klasse von termäquivalenten Algebren auf dieser Grundmenge als Klon. Äquivalent dazu kann man einen Klon als Operationenmenge auf X definieren, die gewisse triviale Funktionen, die Projektionen, enthält, und die unter Funktionskomposition abgeschlossen ist. Die Klone auf X können bezüglich der mengentheoretischen Inklusionsrelation geordnet werden, und es gibt einen größten Klon, den Klon aller Funktionen, und einen kleinsten Klon, der nur die Projektionen enthält. Tatsächlich erhält man, wenn man die Klone so ordnet, einen algebraischen Verband Cl(X). Das Ziel der Klontheorie ist es nun, die Struktur von Cl(X) für alle X zu verstehen. Das bedeutet nichts anderes, als den Zusammenhang zwischen allen universellen Algebren auf X zu verstehen, wobei termäquivalente Algebren identifiziert werden. Für zweielementige Grundmengen X ist dieses Problem vollständig gelöst. Hat X hingegen mindestens drei Elemente, so ist Cl(X) im Gegensatz dazu so kompliziert, daß es unmöglich scheint, seine Struktur ganz zu verstehen. Klontheoretiker versuchen daher bestimmte interessante Teile von Cl(X) zu bestimmen, wie die Atome und die Koatome, oder natürliche Intervalle in Cl(X). In den vergangenen Jahren konnten viele fundamentale Fragestellungen im Falle, dass X endlich ist, gelöst werden; zum Beispiel ist es gelungen, alle Koatome zu bestimmen. Nicht viel ist bekannt über den Klonverband wenn X unendlich ist, obwohl unendliche universelle Algebren es wert sind, erforscht zu werden: Beispielsweise sind die stetigen Funktionen eines topologischen Raumes ein Klon auf einer für gewöhnlich unendlichen Grundmenge. Ein Grund hierfür ist wahrscheinlich, dass auf endlichem X Methoden rein algebraischer Natur notwendig sind, um Cl(X) zu erforschen, und diese sind Algebraikern wohlbekannt; auf unendlichem X hingegen kommen eher mengentheoretische Methoden, oder Methoden der mathematischen Logik, zur Anwendung, so wie beispielsweise unendliche Kombinatorik, Ramsey-Theorie, und Forcing. Das Ziel dieses Projektes ist es, Teile von Cl(X) für unendliches X zu erforschen. Genauer werden folgende Fragestellungen betrachtet: Klone, die alle Funktionen einer Veränderlichen enthalten, maximale Klone, die alle Permutationen der Grundmenge enthalten, maximale Klone, die unter Konjugation abgeschlossen sind (das sind maximale Klone, die unabhängig von der Ordnung der Grundmenge sind), eine bestimmte Partition des Klonverbandes, sowie eine Klassifikation der minimalen Klone.

A universal algebra is a base set X together with functions, or operations, on this set, each of which has a finite number of variables. For example, the base set of the natural numbers with the usual sum as the only operation, the two-element set {0,1} with the logical operation AND, and vector spaces are universal algebras. Whereas other parts of the mathematical field of algebra deal with specific algebraic structures, as for example linear algebra deals with the above-mentioned vector spaces, the field of universal algebra studies mainly the relation between all universal algebras. In this context, two universal algebras are usually considered equivalent if they generate the same term functions from their fundamental functions. If we fix a base set X, then a clone is a class of term equivalent algebras on X. Equivalently, a clone can be defined to be a set of operations on X which contains certain trivial functions, the projections, and which is closed under composition of functions. The clones on X can be ordered by set-theoretical inclusion, and there is a largest clone, the clone of all functions, and a smallest clone, which contains only the projections. In fact, by ordering the clones in such a way, one obtains an algebraic lattice Cl(X). It is the aim of clone theory to understand the structure of Cl(X) for all X. This goal is nothing else than understanding the relation between all universal algebras on X up to term equivalence. For base sets X which have only two elements, this problem has been completely solved. On the contrary, if X has at least three elements, then Cl(X) is already so complex that it seems impossible to fully understand it. Clone theorists thus try to determine certain interesting parts of Cl(X), such as the atoms and the dual atoms, or natural intervals in Cl(X). For finite X, many fundamental questions on Cl(X) were solved in the past years; for example, all dual atoms have been found. On infinite X, not much is known about the clone lattice, although infinite universal algebras are well worth to be investigated: For example, the continuous functions on a topological space are a clone on a usually infinite set. One reason for this is probably that whereas on finite X, the methods needed to investigate Cl(X) are of a purely algebraic nature and thus known to algebraists, on infinite X set-theoretical methods, or methods from mathematical logic, such as infinite combinatorics, Ramsey theory and forcing are required. It is the goal of this project to investigate parts of Cl(X) on infinite X. More specifically, it will focus on clones containing all functions of only one variable, on maximal clones containing all permutations of the base set, on maximal clones closed under conjugation (that is, maximal clones independent of the order of the base set), on a certain partition of the clone lattice, and on a classification of the minimal clones.