Berechnung optimaler Portfolios bei partieller Information

Um 1970 veröffentlichte Merton zwei Arbeiten zur Portfoliooptimierung in stetiger Zeit. Unter Benutzung der stochastischen Kontrolltheorie konnte er für ein Kriterium der Nutzenmaximierung optimale Handlesstrategien ableiten. Diese besagen, dass der Anteil des Portfoliowertes, der in eine Aktie investiert wird, konstant zu halten ist. Während die berühmte Black-Scholes-Formel zur Optionspreisbewertung, die im gleichen Marktmodell abgeleitet wurde, unter Anwendern schnell akzeptiert wurde und immer noch eine wichtige Richtgröße darstellt, wurde der Merton-Strategie nie dieser Erfolg zuteil. Anwender ziehen zur Portfoliooptimierung immer noch Modelle vor, die auf dem Nobel-Preis geehrtem Modell von Markowitz beruhen. Während der Trendparameter der Aktien für die Preisbewertung keine Rolle spielt, ist er von äußerster Wichtigkeit für die Optimierung. Daher mögen die schlechten Ergebnisse der Merton-Strategie bei der Anwendung auf historische Kurse an der vereinfachten Annahme eines konstanten Trends liegen. Deswegen sind verbesserte Ergebnisse durch eine realistischer Modellierung zu erwarten. Aber bei Einführung eines stochastischen Prozesses für den Trend ist dieser Prozess nicht über die Aktienkurse beobachtbar. Der Anleger verfügt also nur über partielle Information. Weitere Verbesserungen sind durch die Einführung stochastischer Volatilitätsmodelle zu erwarten. Seit 1990 sind zahlreiche Arbeiten zur Portfoliooptimierung bei partieller Information erschienen. Zu der Umsetzung der entsprechenden Strategien gibt es aber wenig Veröffentlichungen. Der Schwerpunkt dieses Projektes wird daher auf der Erweiterung dieser Modelle und die effiziente Berechnung und Implementierung der resultierenden optimalen Strategien liegen. Wir wollen (i) die Modelle erweitern um stochastische Volatilitätsmodelle und konvexe Restriktionen, (ii) die Parameterschätzung verbessern durch Ersetzung des EM Algorithmus durch an das Problem angepasste Markov Chain Monte Carlo und auf der Berechnung von Momenten basierende Methoden, und (iii) quasi-Monte Carlo-Methoden anwenden, um die optimalen Strategien effizienter zu berechnen. Das Projekt wird Methoden der Finanzmathematik, der Wahrscheinlichkeitstheorie, der Statistik und der Zahlentheorie verbinden. Durch vielversprechende Resultate in vorangehenden Arbeiten wagen wir zu hoffen, dass neben den mathematischen Errungenschaften dieses Projekt auch ein Schritt sein wird, die zeitstetige Portfoliooptimierung attraktiver für Anwender zu machen.

Um 1970 veröffentlichte Merton zwei Arbeiten zur Portfoliooptimierung in stetiger Zeit. Unter Benutzung der stochastischen Kontrolltheorie konnte er für ein Kriterium der Nutzenmaximierung optimale Handlesstrategien ableiten. Diese besagen, dass der Anteil des Portfoliowertes, der in eine Aktie investiert wird, konstant zu halten ist. Während die berühmte Black-Scholes-Formel zur Optionspreisbewertung, die im gleichen Marktmodell abgeleitet wurde, unter Anwendern schnell akzeptiert wurde und immer noch eine wichtige Richtgröße darstellt, wurde der Merton-Strategie nie dieser Erfolg zuteil. Anwender ziehen zur Portfoliooptimierung immer noch Modelle vor, die auf dem Nobel-Preis geehrtem Modell von Markowitz beruhen. Während der Trendparameter der Aktien für die Preisbewertung keine Rolle spielt, ist er von äußerster Wichtigkeit für die Optimierung. Daher mögen die schlechten Ergebnisse der Merton-Strategie bei der Anwendung auf historische Kurse an der vereinfachten Annahme eines konstanten Trends liegen. Deswegen sind verbesserte Ergebnisse durch eine realistischer Modellierung zu erwarten. Aber bei Einführung eines stochastischen Prozesses für den Trend ist dieser Prozess nicht über die Aktienkurse beobachtbar. Der Anleger verfügt also nur über partielle Information. Weitere Verbesserungen sind durch die Einführung stochastischer Volatilitätsmodelle zu erwarten. Seit 1990 sind zahlreiche Arbeiten zur Portfoliooptimierung bei partieller Information erschienen. Zu der Umsetzung der entsprechenden Strategien gibt es aber wenig Veröffentlichungen. Der Schwerpunkt dieses Projektes wird daher auf der Erweiterung dieser Modelle und die effiziente Berechnung und Implementierung der resultierenden optimalen Strategien liegen. Wir wollen (i) die Modelle erweitern um stochastische Volatilitätsmodelle und konvexe Restriktionen, (ii) die Parameterschätzung verbessern durch Ersetzung des EM Algorithmus durch an das Problem angepasste Markov Chain Monte Carlo und auf der Berechnung von Momenten basierende Methoden, und (iii) quasi-Monte Carlo-Methoden anwenden, um die optimalen Strategien effizienter zu berechnen. Das Projekt wird Methoden der Finanzmathematik, der Wahrscheinlichkeitstheorie, der Statistik und der Zahlentheorie verbinden. Durch vielversprechende Resultate in vorangehenden Arbeiten wagen wir zu hoffen, dass neben den mathematischen Errungenschaften dieses Projekt auch ein Schritt sein wird, die zeitstetige Portfoliooptimierung attraktiver für Anwender zu machen.