Kombinatorik und Dynamik von Ziffernentwicklungen

Allgemeine Ziffernentwicklungen erlauben verschiedene Möglichkeiten die natürlichen Zahlen als gewichtete Summen darzustellen. Spezialfälle sind etwa die klassische Dezimaldarstellung (203=2x100+0x10+3x1) oder die in Computerprozessoren verwendete Binärdarstellung. Alternative Darstellung, die entweder signierte Ziffern oder kompliziertere Basen als 1,10,100,... verwenden, wurden ebenfalls untersucht und fanden in der Kryptographie, der Analyse von Algorithmen und der Spieltheorie Anwendung. Die allgemeine Theorie solcher Ziffernsysteme nahm ihren Ausgang in der theoretischen Computerwissenschaft, wo sie zumeist für die Beschleunigung von Rechenoperationen Verwendung fand. Hier verweisen wir auf die bekannten Bücher von Knuth. In dem beantragten Projekt nehmen wir einen anderen Standpunkt ein, der von Vershik und Liardet eingeführt worden ist: die Darstellungen der natürlichen Zahlen werden in einen topologischen Raum eingebettet. Die Addition der Eins wird dann verwendet, um ein dynamisches System zu definieren, das sogenannte Odometer. Die komplizierte Struktur der Überträge spiegelt sich in den kombinatorischen Eigenschaften der Zahldarstellung wider. Im Rahmen dieses Projektes haben wir vor, diese Theorie in einer größeren Allgemeinheit zu entwickeln und sie auf andere Grundmengen, etwa Zahlkörper oder Polynomringe auszudehnen. Die probabilistische Untersuchung von klassischen arithmetischen Funktionen wurde entwickelt, um ein besseres Verständnis der statistischen Eigenschaften der Primfaktorzerlegung der ganzen Zahlen zu erhalten. Im Rahmen dieses Projektes soll die probabilistischeZahlentheorie der arithmetischen Funktionen bezüglich allgemeiner Ziffernentwicklungen weiterentwickelt werden. Der oben erwähnte Raumwird dabei die Rolle von verschiedenen Kompaktifizierungen der natürlichen Zahlen spielen, die bei der Untersuchung klassischer arithmetischer Funktionen verwendet wurden.