Robuste Kalibrierung von Aktienkursmodellen mit Sprüngen

Seit der Entwicklung der Black-Scholes Formel, die auf einem Prozess mit geometrischer Brownscher Bewegung beruht, wurde die Qualität der Preisfestlegung durch immer allgemeinere Modelle weiter verbessert. Vor allem Modelle, die auf Sprungprozessen - insbesondere auf Lévy-Prozessen - beruhen, haben sich zu einem weit verbreiteten Hilfsmittel zur Marktmodellierung entwickelt. Die meisten bisherigen Untersuchungen befassten sich mit der Entwicklung von effizienten analytischen oder numerischen Verfahren bei gegebenem stochastischen Modell des Preisprozesses. Für die praktische Anwendung jedoch muss als unerlässlicher erster Schritt immer der zugrundeliegende Prozess modelliert und seine Parameter so bestimmt werden, dass die Marktdaten reproduziert werden. Derartige Kalibrierungsprobleme gehören zu einer allgemeineren Klasse an inversen Problemen. Numerische Schwierigkeiten treten unter anderem aufgrund der fehlenden Stabilität auf, sodass verschiedene Regularisierungsmethoden entwickelt wurden. Im Blickpunkt unserer Untersuchungen steht vor allem die Methode basierend auf relativer Entropie. Dieser nicht-parametrische Kalibrierungsansatz wurde für lokale Volatilitätsmodelle von Avellaneda et al. (1997) und Avellaneda (1998) entwickelt, und von Cont und Tankov (2002) auf das exponentielle Lévy-Modell angewendet. Ein erstes Ziel des Projektes ist die Erweiterung dieses Ansatzes auf ein Modell, bei dem die Dynamik des zugrundeliegenden Prozesses durch einen Lévy-gesteuerten stochastischen Volatilitätsprozess vom Ornstein- Uhlenbeck Typ beschrieben wird. Diese Klasse von Modellen ist in der Lage, auf natürliche Weise viele ausgeprägte Merkmale von Finanzprozessen zu erzeugen, indem zeitliche Inhomogenität plausibel modelliert wird. Dadurch stellt dieses Modell eine entscheidende Verbesserung dar im Vergleich zu exponentiellen Lévy-Modellen. Ein weiteres Ziel ist die Entwicklung numerischer Methoden, um auch allgemeinere pfad-abhängige Optionen in diesem Setting bewerten zu können. Als eine natürliche Erweiterung soll die Klasse an Modellen mit affinen Prozessen untersucht werden. Die Ergebnisse dieses Projekts sollen einerseits nützliche Hilfsmittel für Investoren und Risikomanager bereitstellen, indem die Qualität der zugrundeliegenden Methoden zur Preisfestlegung und zur Risikobewertung verbessert wird. Andererseits sollen die Ergebnisse auch theoretisch weitere Einsichten in die Marktmodellierung bieten sowie als Ausgangspunkt weiterer theoretischer Untersuchungen dienen.

Seit der Entwicklung der Black-Scholes Formel, die auf einem Prozess mit geometrischer Brownscher Bewegung beruht, wurde die Qualität der Preisfestlegung durch immer allgemeinere Modelle weiter verbessert. Vor allem Modelle, die auf Sprungprozessen - insbesondere auf Lévy-Prozessen - beruhen, haben sich zu einem weit verbreiteten Hilfsmittel zur Marktmodellierung entwickelt. Die meisten bisherigen Untersuchungen befassten sich mit der Entwicklung von effizienten analytischen oder numerischen Verfahren bei gegebenem stochastischen Modell des Preisprozesses. Für die praktische Anwendung jedoch muss als unerlässlicher erster Schritt immer der zugrundeliegende Prozess modelliert und seine Parameter so bestimmt werden, dass die Marktdaten reproduziert werden. Derartige Kalibrierungsprobleme gehören zu einer allgemeineren Klasse an inversen Problemen. Numerische Schwierigkeiten treten unter anderem aufgrund der fehlenden Stabilität auf, sodass verschiedene Regularisierungsmethoden entwickelt wurden. Im Blickpunkt unserer Untersuchungen steht vor allem die Methode basierend auf relativer Entropie. Dieser nicht-parametrische Kalibrierungsansatz wurde für lokale Volatilitätsmodelle von Avellaneda et al. (1997) und Avellaneda (1998) entwickelt, und von Cont und Tankov (2002) auf das exponentielle Lévy-Modell angewendet. Ein erstes Ziel des Projektes ist die Erweiterung dieses Ansatzes auf ein Modell, bei dem die Dynamik des zugrundeliegenden Prozesses durch einen Lévy-gesteuerten stochastischen Volatilitätsprozess vom Ornstein- Uhlenbeck Typ beschrieben wird. Diese Klasse von Modellen ist in der Lage, auf natürliche Weise viele ausgeprägte Merkmale von Finanzprozessen zu erzeugen, indem zeitliche Inhomogenität plausibel modelliert wird. Dadurch stellt dieses Modell eine entscheidende Verbesserung dar im Vergleich zu exponentiellen Lévy-Modellen. Ein weiteres Ziel ist die Entwicklung numerischer Methoden, um auch allgemeinere pfad-abhängige Optionen in diesem Setting bewerten zu können. Als eine natürliche Erweiterung soll die Klasse an Modellen mit affinen Prozessen untersucht werden. Die Ergebnisse dieses Projekts sollen einerseits nützliche Hilfsmittel für Investoren und Risikomanager bereitstellen, indem die Qualität der zugrundeliegenden Methoden zur Preisfestlegung und zur Risikobewertung verbessert wird. Andererseits sollen die Ergebnisse auch theoretisch weitere Einsichten in die Marktmodellierung bieten sowie als Ausgangspunkt weiterer theoretischer Untersuchungen dienen.