Gitterpunkte in großen Körpern

Es sei K ein Körper im s-dimensionalen euklidischen Raum mit überall glattem Rand, und t ein großer reeller Parameter, um den der Körper K vergrößert ("aufgeblasen") wird. Die Zahl der Punkte mit ganzen Koordinaten im großen Körper tK ist in erster Näherung durch sein Volumen gegeben. Die Frage nach dem dabei gemachten Fehler hat seit vielen Jahrzehnten eine tiefe und reiche mathematische Theorie entstehen lassen. Während man im ebenen Fall (s=2) bereits recht gut Bescheid weiß, ist insbesondere für Körper unseres dreidimensionalen Anschauungsraumes noch recht wenig bekannt. Für allgemeine dreidimensionale Körper diesen "Gitterrest" (Gitterpunktanzahl minus Volumen) als Funktion von t nach oben und unten abzuschätzen, sowie auch über sein "mittleres" Verhalten Aussagen zu gewinnen, ist Hauptanliegen des beantragten Projekts. Besonderes Augenmerk gilt dabei u.a. jenen Körpern K, die rotationssymmetrisch bezüglich einer Koordinatenachse sind. Weiters soll die Situation näher untersucht werden, daß auf der Randfläche von K Kurven existieren, auf denen die Krümmung der Fläche gleich Null ist. Entsprechende Untersuchungen für spezielle höherdimensionale Körper führen zur Beantwortung von Fragen der Arithmetik gewisser Verallgemeinerungen der komplexen Zahlen, wie z.B. der Hamilton`schen Quaternionen.

Hauptanliegen des Projektes war es, genauere Einsichten zu gewinnen über das asymptotische Verhalten der Anzahl ganzzahliger Punkt in großen Körpern K des dreidimensionalen Raumes, insbesondere für den Fall, dass der (durchwegs als glatt vorausgesetzte) Rand von K Punkte mit Krümmung 0 enthält. Zu dieser Fragestellung wurden die folgenden Hauptergebnisse erzielt: Für den Fall sehr allgemeiner Rotationskörper konnte eine präzise asymptotische Formel für diese Gitterpunktanzahl hergeleitet werden, die dem Einfluss von Randpunkten mit verschwindender Krümmung genau Rechnung trägt, und zwar sowohl für den Fall, dass diese Punkte ganze Kreislinien bilden, als auch für isolierte Flachpunkte in den "Polen" des Körpers (Schnittpunkte der Randfläche mit der Rotationsachse). Der Beitrag derartiger Flachpunkte wurde in einer weiteren Hauptpublikation weiter thematisiert: Er konnte asymptotisch ausgewertet werden, mit einem Fehler, von dem sich zeigen ließ, dass er "im Mittel" sehr viel kleiner ist. Als interessantes, etwas "exotisches" Beispiel wurde die entsprechende Problematik für den dreidimensionalen Torus behandelt, mit einem viel genaueren Endergebnis. Als Ergänzung zu diesen Untersuchungen wurden für spezielle Körper (z.B. Ellipsoide und andere speziellere Rotationskörper) Abschätzungen mit expliziten numerischen Konstanten gewonnen, wodurch effektive Aussagen über die Genauigkeit der Annäherung des Volumens dieser Körper durch die Zahl der ganzzahligen Punkte möglich werden. Hauptanliegen des Projektes war es, genauere Einsichten zu gewinnen über das asymptotische Verhalten der Anzahl ganzzahliger Punkt in großen Körpern K des dreidimensionalen Raumes, insbesondere für den Fall, dass der (durchwegs als glatt vorausgesetzte) Rand von K Punkte mit Krümmung 0 enthält. Zu dieser Fragestellung wurden die folgenden Hauptergebnisse erzielt: Für den Fall sehr allgemeiner Rotationskörper konnte eine präzise asymptotische Formel für diese Gitterpunktanzahl hergeleitet werden, die dem Einfluss von Randpunkten mit verschwindender Krümmung genau Rechnung trägt, und zwar sowohl für den Fall, dass diese Punkte ganze Kreislinien bilden, als auch für isolierte Flachpunkte in den "Polen" des Körpers (Schnittpunkte der Randfläche mit der Rotationsachse). Der Beitrag derartiger Flachpunkte wurde in einer weiteren Hauptpublikation weiter thematisiert: Er konnte asymptotisch ausgewertet werden, mit einem Fehler, von dem sich zeigen ließ, dass er "im Mittel" sehr viel kleiner ist. Als interessantes, etwas "exotisches" Beispiel wurde die entsprechende Problematik für den dreidimensionalen Torus behandelt, mit einem viel genaueren Endergebnis. Als Ergänzung zu diesen Untersuchungen wurden für spezielle Körper (z.B. Ellipsoide und andere speziellere Rotationskörper) Abschätzungen mit expliziten numerischen Konstanten gewonnen, wodurch effektive Aussagen über die Genauigkeit der Annäherung des Volumens dieser Körper durch die Zahl der ganzzahligen Punkte möglich werden.