Primal-dual beschränkte Optimierung und Tribologie der Risse

Das klassische Rissmodell basiert auf der Annahme, dass keine Interaktion zwischen den Rissflächen auftritt. Dadurch werden Oberflächeneffekte, welche aus tribologischer Sicht wichtig sind, vernachlässigt. Um Geometrie- und Topologieänderungen von Rissen zu beschreiben, erwarten wir, dass tribologische Argumente in Bezug auf die Rissflächen berücksichtigt werden sollen. Das Hauptziel dieses Projekts besteht in der Konstruktion und Analysis mathematischer Werkzeuge zur Beschreibung dissipativer Prozesse bei der Interaktion von Rissflächen. Dieser Aspekt gehört in den Bereich der mathematischen Modellierung, restringierten Optimierung und des wissenschaftlichen Rechnens in Rahmen von Rissproblemen. Aus mathematischer Sicht ist die ``primal-duale`` Optimierung ein wesentlicher Begriff. Dies liegt begründet in der Tatsache, dass der duale Zustand eine Hauptrolle in der Beschreibung des Zusammenspiels der Rissflächen spielt. Eine der wesentlichen Schwierigkeiten in diesem Bereich rührt vom nichtglatten Charakter des zugehörigen Kostenfunktionals her. Dies erfordert eine geeignete Regularisierung, welche mathematisch wie physikalisch konsistent sein muss. Numerische Experimente sind vorgesehen, um unsere theoretischen Untersuchungen im geplanten Projekt zu unterstützen. Aus diesen Gründen ist unser vielschichtiger Zugang in folgende Richtungen geplant: 1. Mathematische Modellierung des Zusammenspiels von Rissflächen unter Berücksichtigung des dissipativen Effektes durch Reibung mittels stetigem wie diskretem Kontakt (raue Oberflächen). 2. Primal-duale Analysis der restringierten Optimierungsprobleme im Hinblick auf deren Wohlgestelltheit und numerische Realisierbarkeit. Dies ist für Anwendungen bei Rissen unter Kontakt mit Reibung vorgesehen. 3. Zeitevolution von Rissen in quasi-statischen Situationen. Dies erfordert eine globale Optimierung bezüglich Formparametern des Risses. Die Innovation diese Projekts liegt in der primal-dualen Formulierung der Interaktionsprozesse bei Rissen und dem Ausnützen von Methoden aus der nichtglatten Analysis.

Das Hauptziel dieses Projekts besteht in der Konstruktion und Analyse mathematischer Werkzeuge zur Beschreibung dissipativer Prozesse bei der Interaktion von Rissflächen. Das klassische Rissmodell vernachlässigt Oberflächeneffekte, welche aus tribologischer Sicht wichtig sind. Im Gegensatz dazu gehen wir von der Annahme aus, dass eine Interaktion zwischen den Rissflächen auftritt. Dies ist für Anwendungen bei Rissen unter Kontakt mit Kohäsions- und Plastizitäts- ähnlichen Effekten durch hemi-variationelle Prinzipien begründet. Die Zeitevolution von Rissen in quasi-statischen Situationen unter Berücksichtigung des Kontakts ist erfolgreich durch eine globale Optimierung bezüglich Formparametern des Risses untersucht worden. Beruhend auf der primal- dualen mathematischen Beschreibung und auf nichtglatter und nichtkonvexer Analysis, haben wir die restringierten Optimierungsprobleme im Hinblick auf deren Wohlgestelltheit erforscht und dazugehörige semiglatte Algorithmen auf numerische Realisierbarkeit untersucht. Numerische Experimente unterstützen unsere theoretische Untersuchungen im Projekt. Diese Fortschritte haben Anwendungen in nichtklassischen Rissmodellen bei Bruchmechanik, Geophysik, und Strukturdesign.