Nichtlineare Wellen in Kinetischen und Makroskop. Modellen

Dieses Projekt beschäftigt sich mit der Existenz, der Stabilität und der numerischen Simulation von wandernden Wellen in Modellgleichungen der Angewandten Mathematik. Wandernde Wellen sind spezielle Lösungen mit einem unveränderlichen Profil, das sich mit konstanter Geschwindingkeit bewegt. Sie sind ein essentieller Bestandteil bei der Erklärung vieler Phänomene. In Gasen, zum Beispiel, können Störungen zu abrupten Übergängen in makroskopischen Größen (Druck, Dichte, Temperatur) führen, die durch das Medium wandern. Ein bekanntes Beispiel dafür ist ein Überschallknall, wie er von Flugzeugen produziert wird. Diese Übergänge spiegeln sich mathematisch in unstetigen Lösungen (Stoßwellen) wieder. Wir beschäftigen uns mit wandernden Wellen, die die innere Feinstruktur einer Stoßwelle repräsentieren. In diesem Zusammenhang sind wir an zwei Arten von Modellen interessiert: 1. Mikroskopische, genauer gesagt, kinetische Transportgleichungen. Anwendungen sind hier der Ladungstransport in Halbleitern und Plasmas mit einem Beipiel aus der Theorie der Mikrowellengeneratoren. 2. Makroskopische, d.h. kontinuumsmechanische Modelle. Hier konzentrieren wir uns auf ein Modell für geschichtete Strömungen. Ein erstes Ziel für kinetische Transportgleichungen sind Existenzbeweise für wandernde Wellen mit kleiner Amplitude. Ihre Stabilität wird überprüft, indem man zeigt, dass kleine Störungen mit der Zeit abklingen. Für die zweite Problemklasse werden physikalisch interessante Grenzfälle studiert. Für alle bearbeiteten Problemstellungen werden theoretische Überlegungen durch numerische Experimente komplementiert.

Dieses Projekt beschäftigte sich mit der Existenz, Stabilität und numerischen Simulation von wandernden Wellen als Lösungen verschiedener Modellgleichungen der Angewandten Mathematik. Einem intuitiven Verständnis des Wellenbegriffs entsprechend, sind wandernde Wellen räumlich lokalisierte Strukturen, die sich mit konstanter Geschwindigkeit fortbewegen. Obwohl wandernde Wellen sehr spezielle Strukturen sind, können sie in manchen Fällen als Bausteine für allgemeinere Phänomene verwendet werden. Eine der von uns betrachteten Modellklassen (so genannte makroskopische Modelle) beschreibt kontinuierliche Medien (wie z.B. die Luft) durch makroskopische Größen wie Dichte, mittlere Geschwindigkeit und Temperatur. Die zweite Modellklasse (so genannte kinetische Modelle) bedient sich einer feineren Beschreibung. Unsere Aufmerksamkeit widmete sich makroskopischen Modellen, in denen bestimmte Phänomene (wie z.B. ein Überschallknall) durch abrupte Übergänge (sogenannte Stöße) beschrieben werden, während die kinetische Beschreibung eine kontinuierliche Auflösung in Form so genannter Stoßprofile liefert. Der Nachteil kinetischer Modelle ist die wesentlich größere Komplexität, die sowohl bei der mathematischen Analyse als auch bei numerischen Simulationen bewältigt werden muss. Ein Anwendungsbeispiel ist die mathematische Beschreibung des Ladungstransports in Halbleitern, wobei unser spezielles Interesse bei der Modellierung von Mikrowellengeneratoren lag. Der erste Schritt der mathematischen Analyse bestand in Existenzbeweisen für wandernde Wellen mit kleiner Amplitude und in einer Untersuchung ihrer dynamischen Stabilität. Diese theoretischen Untersuchungen wurden motiviert und ergänzt durch numerische Simulationen und einige Resultate zu wandernden Wellen mit beliebig großer Amplitude.