Mathematische Modelle für Versicherungsrisiken

In diesem Projekt sollen die derzeit verfügbaren mathematischen Hilfsmittel zur Analyse von Versicherungsrisiken weiterentwickelt werden. Neben der Verfeinerung von analytischen Methoden sollen dabei die stochastischen Modelle für die zeitliche Entwicklung der freien Reserve in einem Versicherungsportfolio derart verallgemeinert werden, dass Abhängigkeiten zwischen Risiken und ökonomische Faktoren adäquat berücksichtigt werden. Insbesondere sollen Techniken zur analytischen Behandlung von Ruinwahrscheinlichkeiten und verwandten Risikomaßen weiterentwickelt werden. Ein zweiter Schwerpunkt unserer Forschung wird auf der mathematischen Analyse von Rückversicherungsverträgen liegen. Wir werden Optimalitätskriterien und geeignete Risikomaße untersuchen, die für eine konkrete Situation eine bestimmte Rückversicherungsform nahe legen und die entsprechende faire Prämie spezifizieren. Weiters soll an der Entwicklung von effizienten Varianzreduktionsverfahren für die stochastische Simulation von Summen abhängiger Risiken gearbeitet werden. Diese sollen in der Folge zum näheren Studium komplexerer Situationen verwendet werden, die sich mit analytischen Mitteln nicht untersuchen lassen.Schließlich ist im Rahmen dieses Projektes auch die Entwicklung semi-statischer Hedge-Strategien für gewisse Klassen von exotischen Optionen geplant. Die Resultate sollen zu effizienten Handlungsstrategien in konkurrierenden Märkten beitragen und zu neuen Einsichten im Umgang mit Versicherungsrisiken führen.

In diesem Projekt wurden mathematische Hilfsmittel zur Analyse von Versicherungsrisiken weiterentwickelt und auf konkrete Fragestellungen zur Messung des Risikos von Versicherungsportfolios angewendet. Für bestimmte Abhängigkeitstrukturen der Versicherungsrisiken wurde das resultierende Verhalten der Ruinwahrscheinlichkeit charakterisiert und entsprechende Konsequenzen für das Risikomanagement von Naturkatastrophen- Versicherungspolizzen untersucht. Es wurden Korrekturterme für einige in der Versicherungspraxis beliebte Approximationen identifiziert. Diese Resultate tragen zu einem besseren Verständnis der Aggregation von Extremrisiken im Versicherungsgeschäft bei. Im Bereich der Entwicklung optimaler Gewinnausschüttungsstrategien wurden mit Hilfe von stochastischer Kontrolltheorie Dividendenstrategien ermittelt, die gewisse Kombinationen von Profitabilitäts- und Solvenz-Kriterien maximieren. Es gelang insbesondere auch die Einbeziehung von Verzinsung und Transaktionskosten in die Analyse. Explizite Formeln wurden für Ruinwahrscheinlichkeiten und verwandte Groessen unter vordefinierten vermögensabhängigen Prämienstrategien hergeleitet. Im klassischen kollektiven Risikomodell konnte eine überraschend einfache Identität für die Ruinwahrscheinlichkeit des Versicherungsportfolios gefunden werden, wenn auf Gewinne Steuern nach dem Verlustvortragsprinzip zu zahlen sind. Zum Beweis dieser Identität wurden Verbindungen der Risikotheorie mit der Warteschlangentheorie ausgebaut und eingesetzt. Auch bei der strukturellen Analyse paralleler mehrfacher Rückversicherungen konnten neue Resultate erzielt werden. Für die Bewertung von CDO-Tranchen wurde ein generisches Levy-Modell entwickelt, dass einen allgemeinen Rahmen für viele bisher einzeln betrachtete Modelle bildet. Für ein sogenanntes lokales Levy-Modell, das einige Nachteile von in der Finanzpraxis gebräuchlichen anderen Equity-Modellen verbessert, konnten Regularisierungstechniken entwickelt werden, die für das inverse Problem der Modell- Kalibrierung eingesetzt werden können, wenn am Markt gehandelte Preise für Vanilla-Optionen zur Verfügung stehen. Für das Heston-Volatilitätsmodell konnte ein seit einiger Zeit in der Praxis bekanntes Problem von unplausiblen Resultaten bei der Bewertung von Optionen mit langen Fälligkeiten mit funktionentheoretischen Methoden mathematisch identifiziert und algorithmisch behoben werden.