Glattheit von nichtlinearen Unterteilungsalgorithmen

Unterteilungsalgorithmen spielen eine prominente Rolle in der Computergraphik, im geometrischen Modellieren und z.B. im Zusammenhang mit Wavelets. Sie stellen auch eine Menge mathematischer Herausforderungen. Die Analysis von Konvergenz und Glattheit der linearen Unterteilungsschemata vor allem im eindimensionalen Fall ist eine mehr oder weniger abgeschlossene Theorie, und auch im mehrdimensionalen Fall der Unterteilung von polyhedralen Objekten kann das Glattheitsproblem des Limes seit 1995 als erledigt angesehen werden. Es ist im Hinblick auf die Fülle der Anwendungen nicht verwunderlich, dass Unterteilungsalgorithmen auf nichtlineare Geometrien ausgedehnt wurden, worunter man sich Flächen, Riemannsche Mannigfaltigkeiten, den euklidschen Raum ohne gewisse Hindernisse oder Liesche Gruppen vorstellen kann. Auch im univariaten Fall gibt es z.B. Anwendungen in der Signalverarbeitung, wo an Wavelet-Transformationen Anforderungen gestellt werden, die unverträglich mit der Linearität sind. Kürzlich wurde begonnen, eine systematische Theorie der Proximität von Unterteilungsalgorithmen aufzubauen. Mittlerweile ist eine reichhaltige Klasse von nichtlinearen Analoga linearer eindimensionaler Unterteilungschemata im Hinblick auf Konvergenz, Approximationseigenschaften und Glattheit untersucht worden. Trotz aller Erfolge fehlen in der Theorie große Teile nach wie vor: Der Ausbau des mehrdimensionalen Falles, vor allem der Glattheitsanalyse in nichtregulären Knoten; eine feinere Glattheitsanalyse (Hölder-Regularität); und nichtlineare Energie-minimierende Unterteilungsalgorithmen. Die Forschung in diese Richtung voranzutreiben ist das Ziel des vorgeschlagenen Forschungsprojektes.

Unterteilungsalgorithmen dienen der Verfeinerung von diskreten Daten mit dem Ziel eines stetigen oder glatten Limes. Dieser Begriff geht auf de Rham zurück, und die hauptsächlichen Anwendungen finden sich in der geometrischen Datenverarbeitung, in der Signalverarbeiten und Wavelet-Analyse, und vor allem in der Computergraphik, wo Unterteilungsalgorithmen dazu verwendet werden "alles, was sich bewegt" zu modellieren. Die involvierten mathematischen Methoden reichen von Approximationstheorie zu Differentialgeometrie. Die ansprechenden Eigenschaften von Unterteilungsregeln sind im Konzept der "multiresolution" zu suchen, die ihnen zugrunde liegt, und die besonders für das interaktive Bearbeiten von geometrischen Formen wichtig ist; und auch in ihrer Fähigkeit, komplexe Formen durch eine kleine Anzahl von Kontrollpunkten zu beschreiben. Besonders gut untersucht sind die linearen Unterteilungsschemata, wo ein Verfeinerungsschritt einfach in der Linearkombination von Daten der groeberen Ebene besteht. Es gibt eine ziemlich vollständige Theorie über Limites, Glattheit, Approximationsordnung, Stabilität, und andere Eigenschaften. Geometrische Daten hingegen leben oft nicht in einer linearen Umgebung und sind deshalb nicht auf natürliche Weise der linearen Theorie zugänglich - kanonische Operationen sind immer nichtlinear. Zum Beispiel denken wir an einen Flugschreiber, der univarate Positions-Daten liefert, oder ein Diffusionstensor-MR-Bild, das bivariate Daten mit Werten in dem Riemannschen symmetrischen Raum der positiv definiten symmetrischen Matrizen darstellt. Bis vor wenigen Jahren bezogen sich die vorhandenen Resultate ueber nichtlineare Unterteilungsalgorithmen auf mehr oder weniger spezifische Situationen. Das Ziel des gegenwärtigen Projektes war es, eine systematische Theorie aufzubauen und geometrische (und zwangsweise nichtlineare) Unterteilungsalgorithmen zu untersuchen, die auf Daten mit Werten in Mannigfaltigkeiten operieren, sodass diese Operation natürlich bzw. invariant im Sinne der zugrundeliegenden Geometrie ist. Im einzelnen haben wir erfolgreich die Wohldefiniertheit, Existenz und Eigenschaften wie Glattheit des Limesobjekte untersucht, die von nichtlinearen Unterteilungsprozessen erzeugt werden.