Effektive Stabilität der equilateralen Lagrangepunkte

Im Gegensatz zum KAM - Theorem (Kolmogorov 1954, Arnold 1963, Moser 1962), welches Stabilität für all jene Orbits eines nichtlinearen dynamischen Systems garantiert, deren Anfangsbedingung Teil einer Cantormenge sind, liefert das Nekhoroshev - Theorem Aussagen über das Verhalten aller Bahnen in einem begrenzten Phasenraumbereich, unabhängig davon, ob es sich dabei um chaotische oder reguläre Orbits handelt. Das Theorem wurde für allgemeine Hamiltonische Systeme 1977 bewiesen und definiert im wesentlichen Stabilitätsbereiche für eine gesamte Umgebung um einen Fixpunkt im Phasenraum. Wenn nun das "Lebensalter" eines physikalischen Systems kürzer, als eine für das System angegebene Nekhoroshev - Zeit ist, handelt es sich im praktischen Sinne um stabile Bahnen, die in einer definierten Umgebung des Fixpunktes an das System gebunden sind. Ein bekanntes Beispiel für "exponentielle Stabilität" in unserem Sonnensystem ist die Bewegung der Trojaner um die equilateralen Lagrangepunkte des Sonne - Jupiter Systems. Die Asteroiden, die sich in ihrer Nähe befinden, führen oszillierende Bewegungen aus, sind aber nicht alle stabil. Alle bisherigen Untersuchungen bezüglich der Nekhoroshev Stabilität der Trojaner wurden im kreisförmigen Dreikörperproblem durchgeführt. Dieses Model entspricht aber nicht genau dem eigentlichen System und ist eine grobe Vereinfachung. Es stellt sich daher die mathematische wie physikalische Herausforderung, das elliptische Dreikörperproblem zu betrachten und im nächsten Schritt die säkularen Veränderungen der Exzentrizität der Jupiterbahn in die Untersuchungen mit hinein zu nehmen. Basierend auf der Methode von Hadjidimetriou werden in diesem Projekt entsprechende 4 dimensionale Mappings für verschiedene - auch große Exzentrizitäten von Jupiter entwickelt, um in der Folge die Resultate auch auf extrasolare Planeten anwenden zu können. Mit Hilfe der Theorie der Birkhoffschen Normalformen werden wir dann die explizite Form des Restglieds entwickeln und daraus direkt auf den Nekhoroshev - stabilen Bereich schließen Dieses Projekt ist somit ein logischer weiterer Schritt, das Nekhoroshev Theorem auf realistische Modelle astrodynamischer Systeme anzuwenden.

Im Gegensatz zum KAM - Theorem (Kolmogorov 1954, Arnold 1963, Moser 1962), welches Stabilität für all jene Orbits eines nichtlinearen dynamischen Systems garantiert, deren Anfangsbedingung Teil einer Cantormenge sind, liefert das Nekhoroshev - Theorem Aussagen über das Verhalten aller Bahnen in einem begrenzten Phasenraumbereich, unabhängig davon, ob es sich dabei um chaotische oder reguläre Orbits handelt. Das Theorem wurde für allgemeine Hamiltonische Systeme 1977 bewiesen und definiert im wesentlichen Stabilitätsbereiche für eine gesamte Umgebung um einen Fixpunkt im Phasenraum. Wenn nun das "Lebensalter" eines physikalischen Systems kürzer, als eine für das System angegebene Nekhoroshev - Zeit ist, handelt es sich im praktischen Sinne um stabile Bahnen, die in einer definierten Umgebung des Fixpunktes an das System gebunden sind. Ein bekanntes Beispiel für "exponentielle Stabilität" in unserem Sonnensystem ist die Bewegung der Trojaner um die equilateralen Lagrangepunkte des Sonne - Jupiter Systems. Die Asteroiden, die sich in ihrer Nähe befinden, führen oszillierende Bewegungen aus, sind aber nicht alle stabil. Alle bisherigen Untersuchungen bezüglich der Nekhoroshev Stabilität der Trojaner wurden im kreisförmigen Dreikörperproblem durchgeführt. Dieses Model entspricht aber nicht genau dem eigentlichen System und ist eine grobe Vereinfachung. Es stellt sich daher die mathematische wie physikalische Herausforderung, das elliptische Dreikörperproblem zu betrachten und im nächsten Schritt die säkularen Veränderungen der Exzentrizität der Jupiterbahn in die Untersuchungen mit hinein zu nehmen. Basierend auf der Methode von Hadjidimetriou werden in diesem Projekt entsprechende 4 dimensionale Mappings für verschiedene - auch große Exzentrizitäten von Jupiter entwickelt, um in der Folge die Resultate auch auf extrasolare Planeten anwenden zu können. Mit Hilfe der Theorie der Birkhoff`schen Normalformen werden wir dann die explizite Form des Restglieds entwickeln und daraus direkt auf den Nekhoroshev - stabilen Bereich schließen Dieses Projekt ist somit ein logischer weiterer Schritt, das Nekhoroshev Theorem auf realistische Modelle astrodynamischer Systeme anzuwenden.