Irrfahrten, Zufallskonfigurationen & horozyklische Produkte

Kern dieses Forschungsprojektes sind Zufallskonfigurationen, die von Irrfahrten auf Graphen, bzw. Gruppen generiert werden. 1.) "Lamplighter"-Irrfahrten kann man sich im einfachsten Modell so vorstellen, dass sich in jedem Knoten eines Graphen eine Lampe mit 2 den möglichen Zuständen "aus" oder "ein" befindet. Ein "Lampenanzünder" wandert zufällig in dem Graphen; dabei kann er den Zustand der Lampe an dem jeweils besuchten Knoten (zufällig) verändern. Die Zustände des Zufallsprozesses bestehen aus der aktuellen Position des "Lamplighters" im Basisgraphen plus der Konfiguration der eingeschalteten Lampen. Die entsprechende algebraische Konstruktion ist das Kranzprodukt von Gruppen. Im Rahmen des Projektes sollen insbesondere "Lamplighter"-Irrfahrten auf Bäumen untersucht werden. 2.) Für "Lamplighter"-Irrfahrten auf dem zweiseitig unendlichen Weg hat ein detailliertes Verständnis der Struktur des Zustandsraumes im Rahmen des Vorprojektes FWF 15577 zu mehreren neuen Resultaten geführt. Die genannte Struktur ist die der Diestel-Leader Graphen. Das sind horozyklische Produkte von 2 homogenen Bäumen. In der Folge wurden solche Produkte von mehr als zwei Bäumen detailliert untersucht; das sind Horosphären im Produkt von Bäumen. Im gegenwärtigen Projekt sollen horozyklische Produkte von anderen Strukturen, insbesondere affinen Gebäuden, im Detail untersucht werden. Dies geht Hand in Hand mit dem Studium von Irrfahrten auf diesen Produkten, die eine Art von Verallgemeinerung von "Lamplighter"-Irrfahrten sind. 3.) Bei "Internal Diffusion Limited Aggregation" emittiert eine "Quelle", d.h. ein fixer Knoten eines unendlichen Graphen, sukzessive unabhängige Teilchen. Jedes vollführt eine Irrfahrt solange bis es auf einen noch nicht bestzten Knoten trifft, wo es sich festsetzt. Wenn sich n Teilchen festgestzt haben, bilden Sie einen zufälligen "Cluster" An . Kernfrage ist, wie sich die geometrische Struktur des zugrunde liegenden Graphen auf die asymptotische Form von An auswirkt. Dies soll insbesondere für die natürlichen Spannbäume der Zahlengitter ("comb lattices"), sowie allgemeiner für Bäume mit endlich vielen Kegeltypen untersucht werden.

Kern dieses Forschungsprojektes sind Zufallskonfigurationen, die von Irrfahrten auf Graphen, bzw. Gruppen generiert werden. 1. "Lamplighter"-Irrfahrten kann man sich im einfachsten Modell so vorstellen, dass sich in jedem Knoten eines Graphen eine Lampe mit 2 den möglichen Zuständen "aus" oder "ein" befindet. Ein "Lampenanzünder" wandert zufällig in dem Graphen; dabei kann er den Zustand der Lampe an dem jeweils besuchten Knoten (zufällig) verändern. Die Zustände des Zufallsprozesses bestehen aus der aktuellen Position des "Lamplighters" im Basisgraphen plus der Konfiguration der eingeschalteten Lampen. Die entsprechende algebraische Konstruktion ist das Kranzprodukt von Gruppen. Im Rahmen des Projektes sollen insbesondere "Lamplighter"-Irrfahrten auf Bäumen untersucht werden. 2. Für "Lamplighter"-Irrfahrten auf dem zweiseitig unendlichen Weg hat ein detailliertes Verständnis der Struktur des Zustandsraumes im Rahmen des Vorprojektes FWF 15577 zu mehreren neuen Resultaten geführt. Die genannte Struktur ist die der Diestel-Leader Graphen. Das sind horozyklische Produkte von 2 homogenen Bäumen. In der Folge wurden solche Produkte von mehr als zwei Bäumen detailliert untersucht; das sind Horosphären im Produkt von Bäumen. Im gegenwärtigen Projekt sollen horozyklische Produkte von anderen Strukturen, insbesondere affinen Gebäuden, im Detail untersucht werden. Dies geht Hand in Hand mit dem Studium von Irrfahrten auf diesen Produkten, die eine Art von Verallgemeinerung von "Lamplighter"-Irrfahrten sind. 3. Bei "Internal Diffusion Limited Aggregation" emittiert eine "Quelle", d.h. ein fixer Knoten eines unendlichen Graphen, sukzessive unabhängige Teilchen. Jedes vollführt eine Irrfahrt solange bis es auf einen noch nicht bestzten Knoten trifft, wo es sich festsetzt. Wenn sich n Teilchen festgestzt haben, bilden Sie einen zufälligen "Cluster" An . Kernfrage ist, wie sich die geometrische Struktur des zugrunde liegenden Graphen auf die asymptotische Form von An auswirkt. Dies soll insbesondere für die natürlichen Spannbäume der Zahlengitter ("comb lattices"), sowie allgemeiner für Bäume mit endlich vielen Kegeltypen untersucht werden.