Entstehung von Singularitäten in der Gravitation

Eine wichtige Eigenschaft vieler nicht-linearer Evolutionsgleichungen ist, dass Lösungen mit glatten Anfangsdaten Singularitäten entwickeln können. Dieses Phänomen, welches unter dem Namen "blow-up" bekannt ist, tritt in vielen Gebieten der Physik - von der Hydrodynamik bis hin zur Allgemeinen Relativitätstheorie- auf. Erlaubt eine bestimmte Gleichung Lösungen die in endlicher Zeit Singularitäten entwickeln, so erheben sich die folgenden Fragen: Wann und wo findet der blow-up statt? Was ist dessen Charakter? Lässt sich die Lösung jenseits der Singularität fortsetzten? Einsicht in das blow-up Verhalten wurde in den letzten Jahren durch Untersuchen kritischer Phänomene gewonnen: Systeme mit nur zwei Endzuständen z.B. Entstehung einer Singularität oder Dispersion, zeigen bei Feinabstimmung der Daten an die Grenze zwischen den beiden Endzustände universelles Verhalten d.h. die Annäherung an die Singularität wird unabhängig von der Form der Anfangsdaten. In der Gravitationstheorie tritt kritischer Kollaps auf, wenn sich die Gravitationsanziehung und die abstoßenden Kräfte der Materie fast aufheben. Die Entdeckung des kritischen Kollaps in der allgemeinen Relativitätstheorie geht auf numerische Untersuchungen von M. Choptuik in den frühen neunziger Jahren zurück, nach analytischen Vorarbeiten durch D. Christodoulou . Obwohl kritischer Kollaps jetzt bei vielen Systemen beobachtet wird, ist ein tieferes mathematisches Verständnis noch ausstehend. Ziel dieses Projekts ist es , durch analytische und numerische Untersuchungen einfacher Modelle, Einsicht in einige der mathematisch-physikalischen Fragestellungen zu erlangen. Im speziellen sollen die folgenden Modelle untersucht werden: i) Das sphärisch-symmetrischen SU(2) Sigma Modell in der Minkowski Raumzeit . Analytischen Fragestellungen sollen sich mit der Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen des linearisierten Problems befassen, sowie mit der Stabilität von Lösungen die als Attraktoren wirken, mit Spektraleigenschaften des Operators für die linearen Störungen sowie mit der Existenz von Attraktoren des nicht-linearen Systems. ii) Wave maps in 2+1 Dimensionen gekoppelt an die Gravitation mit negativer kosmologischer Konstante. Numerisch soll die Frage untersucht werden in welcher Form der Kollaps zu einen Schwarzen Loch stattfindet. Insbesondere welche Rolle der statischen Soliton-Lösung welche für verschwindende kosmologische Konstante existiert, zukommt. iii) Das masselose skalare Feld gekoppelt an die Gravitation mit sphärischer Symmetrie. Ziel ist globale Eigenschaften des kritischen Kollaps zu studieren. Dabei soll der Frage nachgegangen werden, wie viel von der zurück gestreuten Energie in das schwarze Loch fällt.

Eine wichtige Eigenschaft vieler nicht-linearer Evolutionsgleichungen ist, dass Lösungen mit glatten Anfangsdaten Singularitäten entwickeln können. Dieses Phänomen, welches unter dem Namen "blow-up" bekannt ist, tritt in vielen Gebieten der Physik - von der Hydrodynamik bis hin zur Allgemeinen Relativitätstheorie- auf. Erlaubt eine bestimmte Gleichung Lösungen die in endlicher Zeit Singularitäten entwickeln, so erheben sich die folgenden Fragen: Wann und wo findet der blow-up statt? Was ist dessen Charakter? Lässt sich die Lösung jenseits der Singularität fortsetzten? Einsicht in das blow-up Verhalten wurde in den letzten Jahren durch Untersuchen kritischer Phänomene gewonnen: Systeme mit nur zwei Endzuständen z.B. Entstehung einer Singularität oder Dispersion, zeigen bei Feinabstimmung der Daten an die Grenze zwischen den beiden Endzustände universelles Verhalten d.h. die Annäherung an die Singularität wird unabhängig von der Form der Anfangsdaten. In der Gravitationstheorie tritt kritischer Kollaps auf, wenn sich die Gravitationsanziehung und die abstoßenden Kräfte der Materie fast aufheben. Die Entdeckung des kritischen Kollaps in der allgemeinen Relativitätstheorie geht auf numerische Untersuchungen von M. Choptuik in den frühen neunziger Jahren zurück, nach analytischen Vorarbeiten durch D. Christodoulou. Obwohl kritischer Kollaps jetzt bei vielen Systemen beobachtet wird, ist ein tieferes mathematisches Verständnis noch ausstehend. Ziel dieses Projekts war, durch analytische und numerische Untersuchungen einfacher Modelle, Einsicht in einige der mathematisch-physikalischen Fragestellungen zu erlangen. Untersucht wurde die Entstehung von Singularitäten im sogenannten sphärisch-symmetrischen SU(2) Sigma Modell in der Minkowski Raumzeit (wave map). In dieses Modell treten selbst-ähnliche Lösungen auf die Singularitäten entwickeln und es wurde schon länger vermutet, dass der Grundszustand dieser Lösungen ein allgemeiner Attraktor d.h. stabil unter allgemeinen Störungen ist. Unsere Untersuchungen sind dem vollständigen Beweis dieser Vermutung ein gutes Stück näher gekommen, so konnte u.A. gezeigt werden, dass es keine reellen instabilen Moden (außer der Eichmode) gibt. Des weitern konnte eine rigorose Formulierung mittels der Semigruppen Theorie gefunden werden. Weiter analytische Untersuchungen betrafen semi-lineare Wellengleichung mit bestimmen Nichtlinearitäten, für welche ähnliches gilt. Hier konnte nicht nur Existenz und Eindeutigkeit des linearisierten Problems gezeigt werden, sonder auch die lineare und, in Erweiterung, die nichtlineare Stabilität der fundamentalen Lösung. Eine weite Fragestellung befasste sich mit dem Langzeitverhalten von nichtlineare Systemen die Energie in Form von Strahlung abgeben. Die Strahlung in großer Entfernung lässt Schlüsse über das System zu. Insbesondere wurde das Langzeitverhalten des masseloses Skalarfelds und des Yang-Mills Felds beide gekoppelt an die Gravitation untersucht. Diese Arbeiten geben allgemeine Hinweise über die mögliche Form der noch zu entdeckenden Gravitationswellen.