Finanzmarktmodelle unter Transaktionskosten

Die Berücksichtigung von Transaktionskosten bei der Modellierung von Finanzmärkten führt zu interessanten und auf den ersten Blick unerwarteten Aspekten. Wie neue Arbeiten zeigen, ermöglicht es dieser Rahmen. die Klasse der zugrunde liegenden stochastischen Prozesse zu erweitern. Es stellt sich nämlich heraus, dass im Rahmen von Modellen mit Transaktionskosten die klassische Semi-Martingal-Theorie nicht mehr der natürliche Rahmen der Allgemeinheit ist (wie es in der friktionsfreien Theorie der Fall ist). Zum Beispiel kann nunmehr auch fraktionelle Brownsche Bewegung zur Modellierung verwendet werden; sobald Transaktionskosten berücksichtigt werden, gibt es auch in diesen Modellen keine Arbitrage-Möglichkeiten mehr. Dies steht in Kontrast zu der Tatsache, dass diese Prozesse (mit Ausnahme des Brownschen Falls natürlich) keine Semi-Martingale sind und Arbitrage- Möglichkeiten erlauben. Die wesentlichen Ziele des Projekts sind die Untersuchung folgender Themen in Modellen mit proportionalen Transaktionskosten: Die Entwicklung einer geeigneten Dualitäts-Theorie für Modelle in stetiger Zeit. Der Beweis einer Äqivalenz zwischen einem geeignet formulierten No-Arbitrage Begriff und der Existenz eines geeignet definierten dualen Objekts ("konsistente Preis-Systeme") in stetiger Zeit. Die Lösung des Nutzenmaximierungsproblems eines Agenten, dessen Präferenzen durch den Erwartungswert einer Nutzenfunktion beschrieben werden. Charakterisierung des dualen Minimizers und Anwendung dieses Minimizers als Preisfunktional ("prizing by marginal utility"). Berechnung all dieser Grössen in konkreten Modellen (zB exponentielle fraktionelle Brownsche Bewegung, aber auch klassische Situationen wie das Black-Scholes Modell oder exponentielle Levy Prozesse), um die Abhängigkeit von der Höhe der Transaktionskosten zu bestimmen. Insbesondere wird die asymptotische Abhängigkeit, wenn die Höhe der Transaktionskosten gegen Null strebt, von Interesse sein.

Transaktions-Kosten, wie zum Beispiel die viel diskutierte Tobin Steuer, haben wesentliche Auswirkungen auf Finanzmärkte. Im gegenständlichen Projekt untersuchen wir die Verhaltensänderungen von rationalen (d.h. Nutzen maximierenden) Investoren, wenn Transaktionskosten eingeführt bzw. erhöht oder verringert werden. Der Fokus liegt auf einer asymptotischen Betrachtung, die diese Reaktionen im Sinn der Differentialrechnung beschreiben, wenn die Höhe der Transaktionskosten klein ist. Die verwendete Methode ist die mathematische Theorie der konvexen Optimierung. Insbesondere die Dualitätstheorie der Optimierung erlaubt es, in der gegenständlichen Situation sehr explizite Aussagen über die resultierenden Effekte zu machen, z.B. die Größe des Preis-Intervalls, in dem nicht gehandelt wird, oder des Verlusts im Erwartungswert des Nutzens.