POD für Parameterschätzung bei Differentialgleichungen

Die numerische Behandlung von Parameterschätzproblemen für partielle Differentialgleichungen, welche in verschiedenen Wissenschaftsbereichen und (industriellen oder wirtschaftlichen) Anwendungen vorkommen, gewinnt in der letzten Zeit zunehmende Beachtung. Parameter-Identifikation im ingenieurwissenschaftlichen Bereich erfordert dabei oft wiederholte, zuverlässige und sehr schnelle Bestimmung von Koeffizienten oder Parametern wie z.B. von Kräften, ktitischen Spanungen, Flußraten sowie Wärmeflüssen. Dabei spielt die Be- stimmung von Parametern in partiellen Differentialgleichungen eine zunehmende Bedeutung. Sofern die auftretenden Probleme als restringierte Optimalsteuerprobleme formuliert werden können, sollten schnelle und robuste Methoden zur Verfügung stehen, um die Parameter hinreichend genau und möglichst schnell zu berechnen. Das Ziel des Projektes ist die Entwicklung von numerischen Algorithmen zur Parameter-Identifikation. Dabei werden schnelle Lösungsverfahren mit lokal superlinearer oder sogar quadratischer Konvergenz kombiniert mit einer Modellreduktion unter Verwendung von Proper Orthogonal Decomposition (POD). POD ist eine Methode, um niedrig-dimensionale Approximationen für Systeme von Differentialgleichungen zu erhalten. Dabei werden die Differentialgleichungen auf Unterräume projeziert, wobei der Unterraum von Basiselementen aufgespannt wird, die Charakteristiken der Lösungen der Differentialgleichungen zu verschieden Parametern enthalten. Im Gegensatz dazu beinhalten z.B. Finite-Elemente-Diskretisierungen keine Informationen über die physikalischen Eigenschaften des zu approximierenden Systems. In unserer Anwendung sind innerhalb der Optimierungsverfahren gekoppelte Differentialgleichungen zu lösen. Dabei setzen wir POD für die räumliche Diskretisierung ein. Viele Anwendungen zu POD finden wir im Bereich von zeitabhängigen Problemen. Die Entwicklung von POD im Kontext von Parameterschätzungen hat weniger Beachtung gefunden. Es ist das Ziel dieses Projektes, effiziente und robuste Strategien für die Berechnung der POD Basis und deren Verwendung in der Parameter-Identifikation zu entwickeln.

Sobald Phänomene aus der Natur, Wirtschaft oder Medizin durch mathematische Modelle hinreichend gut beschrieben werden können, stellt sich oft die Frage nach einer Optimierung dieser Modelle (Frage nach optimalem Verbrauch oder optimalem Design). Hier lassen sich Strategien aus der mathematischen Optimierung einsetzen. Auf diese Weise erhält man numerische Algorithmen, so dass zur Lösung der gestellten Optimierungsaufgabe Computer einsetzbar sind. Damit lassen sich die unbekannten Lösungen (Freiheitsgrade) des Optimierungsproblems berechnen. In diesem Projekt sind partielle Differentialgleichungen als mathematische Modelle betrachtet worden. Als Anwendungsbeispiel ist - neben anderen Problemen - ein Beispiel aus der Akustik des Autoinnenraums gewählt worden. Optimierungsprobleme für partielle Differentialgleichungen führen auf Probleme mit sehr vielen Freiheitsgraden, die durch numerische Algorithmen bestimmt werden müssen. Zur Verbesserung der Effizienz der numerischen Algorithmen werden daher Techniken der Modellreduktion angewendet. Diese Strategie führt zu einer drastischen Reduktion der zu bestimmenden Freiheitsgrade des zugrunde liegenden Problems und damit reduziert sich auch die Rechenzeit und der Speicherbedarf. In diesem Projekt sind Methoden entwickelt worden, die Modellreduktion so zu steuern, dass dadurch ein zu großer Qualitätsverlust (im Vergleich zur nicht reduzierten Lösung) entsteht. Dies geschieht auf eine Weise, die keine Berechnung der nicht reduzierten Lösung erfordert.