Die Gitterdiskrepanz großer Bereiche

Es sei B ein Körper im s-dimensionalen euklidischen Raum mit durchwegs glattem Rand, und es sei t ein großer Parameter um den der Körper B linear vergrößert ("aufgeblasen") wird. Die Anzahl der ganzzahligen Punkte im vergrößerten Körper tB wird in erster Näherung durch das Volumen von tB approximiert. Die Frage nach dem Approximationsfehler - der so genannten "Gitterdiskrepanz" - hat eine tiefe und reichhaltige mathematische Theorie entstehen lassen. Im ebenen Fall (s = 2) versteht man die Situation bereits relativ gut, ebenso für "eiförmige" Körper im dreidimensionalen Raum (d.h. konvex, mit glattem Rand von durchwegs positiver Krümmung). Das zentrale Ziel des vorliegenden Projektantrages ist daher die Untersuchung von Körpern, welche eine sehr explizite Abweichung von der "Eiform" (Konvexität) aufweisen, nämlich "Eindellungen". Es ist zu hoffen, dass für diesen Fall präzise asymptotische Formeln für die Gitterdiskrepanz gewonnen werden. Die Untersuchungen sollen für den drei- und höherdimensionalen Raum durchgeführt werden. Das Thema stellt insgesamt eine natürliche und zentrale Frage der Analysis in mehreren Variablen dar. Es kann als Grundlagenforschung zur mehrdimensionalen numerischen Integration betrachtet werden, außerdem besitzt es Verbindungen zur Fouriertheorie, zur klassischen analytischen Theorie spezieller arithmetischer Funktionen, zu Diophantischen Gleichungen und zur Theorie linearer Operatoren. Weiters existieren Anwendungen in der Quantenphysik und in der Kristallographie.

Hauptanliegen des Projektes war es, genauere Einsichten zu gewinnen über das asymptotische Verhalten der Anzahl ganzzahliger Punkte in großen Bereichen in der Ebene sowie im Raum, insbesondere über den Unterschied zwischen dieser Anzahl und dem Flächen- bzw. Rauminhalt des betrachteten Bereiches. Zu dieser Fragestellungen wurden zunächst die zur Verfügung stehenden methodischen und theoretischen Hilfsmittel verbessert und verfeinert, sodann die erzielten Ergebnisse auf verschiedene spezielle Körper angewendet. Exemplarisch seien hier das Drehellipsoid sowie der Torus ("Doughnut") im dreidimensionalen Raum genannt. Es zeigte sich weiter, dass die entwickelten Methoden Anwendungen auf andere mathematische Disziplinen gestatten, die im weitesten Sinn auf der Abzählung von Punkten mit ganzzahligen Koordinaten beruhen. Als Besonderheit sei noch erwähnt, dass eine neue und sehr präzise Formel für die ganzzahligen Punkte in einer beliebigen Kreisscheibe benutzt werden konnte, um Computerberechnungen durchzuführen, aufgrund derer eine gewisse mathematische Konstante (die sog. Masser-Gramain Konstante) deutlich präziser bestimmt werden konnte, als das bisher möglich war.