Automorphes Spektrum und arithmetische Gruppen

Die Kohomologie einer arithmetischen Untergruppe einer reduktiven ueber einem algebraischen Zahlkoerper k definierten algebraischen Gruppe G kann in Termen ihres automorphen Spektrums interpretiert werden. Mittels verschiedener Techniken gelang es in einigen Faellen einerseits, die innere automorphe Struktur gewisser analytisch definierter Unterraeume der Kohomologie (cuspidale Kohomologie, Eisenstein Kohomologie), andererseits, Existenzsaetze fuer bestimmte Typen automorpher Darstellungen im automorphen Spektrum zu zeigen. Diese Untersuchungen fanden unterschiedliche Anwendungen in Zahlentheorie und Geometrie. Der Gegenstand dieses Projektes ist das Studium dieses Ideenkreises im Falle der allgemeinen linearen Gruppe ueber einer endlichdimensionalen Divisionsalgebra D ueber k. Erstens betrifft dies die Untersuchung der cuspidalen Kohomologie mit Hilfe einer verfeinerten stabilisierten Form der Arthur`schen Spurformel. Zweitens ist es geplant, in diesem Fall diejenigen Kohomologieklassen zu studieren, die von Residuen von Eisensteinreihen herkommen, d.h., den Beitrag des residuellen Spektrums zur Kohomologie zu verstehen.

Die Kohomologie einer arithmetischen Untergruppe einer reduktiven über einen algebraischen Zahlkörper k de?nierte algebraische Gruppe G kann in Termen ihres automorphen Spektrums interpretiert werden. Mittels verschiedener Techniken gelang es in einigen Fällen einerseits, die innere automorphe Struktur gewisser analytisch de?nierter Unterräume der Kohomologie (cuspidale Kohomologie, Eisenstein Kohomologie), andererseits, Existenzsätze für bestimmte Typen automorpher Darstellungen im automorphen Spektrum zu zeigen. Die benutzten oder entwickelten Methoden bestanden in einer genauen Analyse zahlentheoretischer Daten oder in der geometrischen Konstruktion nicht-verschwindender Kohomologieklassen für arithmetische Gruppen. Diese Klassen stehen dann in Beziehung zu automorphen Darstellungen, die zum Spektrum beitragen.Diese Untersuchungen fanden unterschiedliche Anwendungen in Zahlentheorie und Geometrie.