Quasi-Monte Carlo für Portfolio-Kredit-Derivate

Ziel dieses Projekts ist einerseits die Entwicklung von verfeinerten Modellen zur Bewertung von Portfolio Kredit- Derivaten mit Hilfe von Quasi-Monte Carlo Methoden, andererseits die Weiterentwicklung von Quasi-Monte Carlo Methoden (vor allem in Hinblick auf die Analyse neuer niedrig-diskrepanter Punktfolgen und gewichteter quasi- Monte Carlo Techniken) und schließlich die Anwendung und Testung der neuen Modelle und Techniken in konkreten Anwendungsbeispielen. Im Konkreten sind folgende Arbeiten geplant: a) Im Bereich Modellierung, Simulation und Bewertung von Portfolio Kredit-Derivaten Es werden Kreditrisikomodelle untersucht, bei welchen die Firmenwerte eines Portfolios mit Levyprozessen modelliert werden, was wesentlich bessere Ergebnisse liefert als das in der Praxis gebräuchliche Modell. Für inhomogene Portfolios mit relativ hohem Risiko müssen, damit das Modell genau genug kalibriert werden kann, gewisse vereinfachende Voraussetzungen weggelassen werden. Dadurch muss man zur Berechnung Kalibrierung und zur Berechnung der Tranchenspreads auf zeitaufwändige Simulationen zurückgreifen. Diese sollen durch die Verwendung von quasi-Monte Carlo Methoden beschleunigt und verbessert werden. b) Im Bereich niedrig-diskrepanter Punktmengen und gewichteter Quasi-Monte Carlo Methoden Eine neue Klasse niedrig-diskrepanter Punktfolgen, die speziell für quasi-Monte Carlo Simulationen geeignet sein dürften (verallgemeinerte Halton-Niederreiter-Folgen), soll in Hinblick auf Abschätzung von Diskrepanz und gewichteter Diskrepanz und in Hinblick auf Existenz genau analysiert werden. Es soll weiters studiert werden inwieweit gewichtete quasi-Monte Carlo Methoden (im Sinn von Sloan und Wozniakowski) für die in a) modellierten Probleme anwendbar und geeignet sind, und wie optimale Gewichte für solche Probleme zu wählen sind. In ausführlichen numerischen Tests werden diese Punktfolgen und Techniken auf ihre Effizienz bei der Bewertung von Portfolio Kredit-Derivaten hin getestet.

Eines der zentralen Themen im Bereich der Finanzmathematik besteht darin, faire Preise für komplexe Finanzprodukte zu ermitteln. Eine Klasse solcher komplexer Finanzprodukte bilden die sogenannten Kredit- Derivate. Mit Hilfe von Kredit-Derivaten können Risiken, die in Kredit-Portfolios bestehen, gemanagt werden, indem sie in Teilen an andere Investoren weitergegeben werden. Kredit-Derivate haben eine umstrittene Rolle im Lauf der Finanzkrise speziell im Jahr 2008 gespielt. Die Bestimmung eines fairen Preises für komplexe Finanzprodukte ist auf Basis finanzmathematischer Prinzipien meist theoretisch möglich, es gibt aber keine expliziten Formeln dafür. Das heißt, dass diese Werte nur näherungsweise, durch numerische Methoden, oder mit Hilfe von Monte Carlo-Simulationen bestimmt werden können. In diesem Projekt wurde in zwei Richtungen gearbeitet. Einerseits wurden verschiedenste Typen von Kredit- Derivat-Produkten, aber auch andere komplexe Finanzprodukte, wie zum Beispiel Rainfall Derivatives oder Cat- Bonds studiert und so vorbereitet, dass sie mit (Quasi-) Monte Carlo-Methoden weiter bearbeitet werden konnten. Andererseits wurden eben diese Monte Carlo-Methoden (und auch Quasi-Monte Carlo-Methoden, hier werden deterministisch ausgewählte, nicht zufällig erzeugt Szenarien für Simulationen verwendet), an Hand dieser konkreten Problemstellungen verfeinert und geeignet adaptiert. Dies führte auch zu Untersuchungen im Bereich Komplexitätstheorie und im Bereich der Zahlentheorie. Im Rahmen des Projekts sind dreizehn wissenschaftliche Publikationen in internationalen Fachzeitschriften publiziert worden.