Topologische und maßtheoretische Methoden in der Kombinatorik

Elegante Mathematik entsteht oft, wenn abstrakte Theorien zum Verständnis und zur Lösung scheinbar elementarer Probleme dienen. Ein prominentes Beispiel hierfür ist die gegenseitige Befruchtung von Ramseytheorie und der Theorie dynamischer Systeme. Als aktueller Höhepunkt kann in diesem Zusammenhang der Satz von Green und Tao über beliebig lange arithmetische Folgen von Primzahlen genannt werden; historisch war Fürstenbergs ergodentheoretischer Beweis des Satzes von Szemeredi grundlegend. Eine andere Leistung, die eng mit den Methoden des vorgeschlagenen Projekts verknüpft ist, stellt der Ultrafilterbeweis des Satzes von Hindman durch Galvin und Glazer dar. Im Zuge meiner Diplomarbeit habe ich begonnen mich mit Ramseytheorie (vor allem unter Verwendung abstrakter Methoden) zu beschäftigen und auch meine Doktorarbeit (Titel: "Filters in Number Theory and Combinatorics") widmete ich diesem Thema. Darüber hinaus war ich in den FWF-Projekten "Probabilistic Number Theory and Analytic Combinatorics" und "Metric and Topological Aspects of Number Theoretical Problems" tätig. Das vorgeschlagene Forschungsprojekt wäre für mich eine ideale Möglichkeit, meine aktuelle Forschung fortzusetzen sowie an neuen offenen Fragestellungen zu arbeiten: Ein in der Ramseytheorie typisches Phänomen ist, dass Mengen, die hinreichend groß sind, um eine bestimmte hoch organisierte Struktur zu enthalten, solche Strukturen im Überfluss enthalten. In diesem Zusammenhang möchte ich Analogien sowie subtile Unterschiede zwischen Dichte- und Färbungssätzen untersuchen. Mittels verwandter Resultate wurden ramseytheoretische Resultate, die sich auf additiv und multiplikativ hochorganisierte Strukturen beziehen, erzielt (zum Teil in Zusammenarbeit mit V. Bergelson, N. Hindman und D. Strauss), und weitere Forschung auf diesem Gebiet erscheint erfolgversprechend. Hiermit in Verbindung stehen auch Fragen über polynomielle Strukturen, an denen ich gemeinsam mit Bergelson arbeiten werde. Weitere Problemstellungen, bei denen eine Zusammenarbeit mit Bergelson erstrebenswert ist, betreffen die Sätze von van der Waerden und Szemeredi in nichtkommutativen Gruppen. Die entsprechenden Rekurrenzresultate können in beliebigen Gruppen formuliert werden, während sich eine natürliche kombinatorische Fassung des Satzes von Szemeredi auf mittelbare Gruppen bezieht. Insbesondere in letzterem Fall sprechen bestimmte Argumente dafür, dass beide Sätze gültig sind. In Verallgemeinerung Sturm`scher Folgen kodieren Hartmanfolgen ergodische Gruppenrotationen. Bemerkenswerter Weise können (idempotente) Ultrafilter verwendet werden, um die kombinatorische Feinstruktur dieser Folgen zu untersuchen. Dieses Thema möchte ich gemeinsam mit G. Maresch, C. Steineder und R. Winkler untersuchen. Im Zuge einer aktuellen Kooperation mit G. Maresch, M. Goldstern und W. Schachermayer konnten bestimmte Fragen zum Monge-Kantorovich Transportproblem durch ein Zusammenspiel von kombinatorischen und maßtheoretischen Methoden gelöst werden. Es erscheint vielversprechend, diese Methoden auch auf den dualen Teil des Problems anzuwenden, insbesondere sollte es möglich sein, Monge-Kantorovich Dualität unter sehr schwachen Voraussetzungen zu beweisen.

Vereinfachend kann man die Mathematik in eine diskrete und eine kontinuierliche Welt teilen. Diskrete Mathematik untersucht Strukturen von endlicher, zählbarer Natur. Ein prominentes Teilgebiet der diskreten Mathematik ist die klassische Zahlentheorie. Eine weitere, wichtige Disziplin von inhärent diskretem Charakter ist die Kombinatorik. Eine typische, einfache Frage in diesem Gebiet wäre die Anzahl der möglichen Ausgänge beim Lotto zu bestimmen.Im Kontrast dazu beschäftigt sich die kontinuierliche Mathematik mit "stetig" variierenden Größen. Um eine in der kontinuierlichen Mathematik betrachtete Größe, etwa eine Strecke oder Fläche, zu messen, wird typischerweise nichts abgezählt; vielmehr wird das Ergebnis eine beliebige reelle (Dezimal-) Zahl sein. Kontinuierliche Mathematik spielt eine herausragende Rolle in der Physik, den Ingenieurwissenschaften und der mathematischen Modellierung.Die Natur dieser zwei mathematischen Welten ist ähnlich verschieden wie die Begriffe "digital" und "analog"; beide Welten haben ihre eigenen Methoden und haben sich historisch mitunter recht unabhängig entwickelt. In diesem Projekt haben wir an den Verbindungen zwischen diesen beiden unterschiedlichen Aspekten der Mathematik gearbeitet. Idealerweise gelingt es ein schwieriges mathematisches Problem in eine andere Sprache zu übersetzten, sodass es mit den Methoden der anderen Welt lösbar wird.Konkret haben wir eine Reihe von Problemen zahlentheoretischer / kombinatorischer Natur behandelt, die große" Teilmengen der natürlichen Zahlen betreffen. Intuitiv ist eine Menge groß, wenn sie einen positiven Anteil aller Zahlen enthält. Etwa stimmt man leicht darin überein, dass die Menge der ungeraden Zahlen 1, 3, 5, wohl 50% aller Zahlen enthält. Diesen Begriff von Größe exakt zu formalisieren ist jedoch nicht trivial und universelle Aussagen über solche großen Mengen zu treffen ist im Allgemeinen recht diffizil. Diese Aufgabe wird jedoch in vielen Fällen deutlich einfacher, wenn es gelingt eine Menge von natürlichen Zahlen durch ein Objekt der stetigen Welt darzustellen. Etwa kann man die obige Menge der ungeraden Zahlen durch ein Teilintervall der Länge 1/2 innerhalb des Einheitsintervalls [0, 1] aller Zahlen zwischen 0 und 1 darstellen. Im Laufe des Projektes konnten wir einige offene Fragen der Zahlentheorie / Kombinatorik lösen, indem wir kontinuierliche Entsprechungen entwickelten.Gleichzeitig können diskrete kombinatorische Methoden manchmal sehr erfolgreich auf Probleme angewandt werden, die gewöhnlich der kontinuierlichen Mathematik zugerechnet werden. Im Projekt haben wir einen neuen kombinatorischen Ansatz entwickelt, der es erlaubt in systematischer Weise "extreme" Modelle zu beschreiben und zu charakterisieren. Das ist z.B. wichtig zum Verständnis des Modellrisikos in der Finanzmathematik: zum Verständnis der Gefahr, dass das Modell selbst falsch ist. Das voreilige Vertrauen in mathematische Modelle und die Missachtung des Modellrisikos werden für ihre Rolle in Finanzkrisen heftig kritisiert. Im Allgemeinen ist es schwierig "worst-case"-Szenarien zu verstehen. Wir haben eine systematische Methode entwickelt um exakte kombinatorische Beschreibungen solcher worst-case-Modelle zu geben.