Blow-up Phänomene in lokaler Grenzschichtablösung

Der laminar-turbulente Grenzschichtumschlag ist für das Verständnis der komplizierten Turbulenzstruktur und für die Entwicklung geeigneter Modelle zur Vorhersage des Verhaltens von Strömungen für Forscher und Ingenieure von entscheidender Bedeutung. Von besonderem theoretischen wie auch praktischen Interesse ist die genaue Berechnung der an Strömungskörpern wirkenden Auftriebs- und Widerstandskräften, welches weit reichendes Wissen in Bezug auf den laminaren oder turbulenten, anliegenden oder abgelösten Strömungszustand erfordert. Grenzschichtablösung und Transition bei hohen Reynolds-Zahlen sind seit der Begründung der klassischen Grenzschichttheorie für laminare, stationäre ebene Strömungen durch Prandtl 1904 Gegenstände intensiver Forschung. Bedeutende Errungenschaften waren neben anderen die Aufdeckung des singulären Verhaltens und des damit verbundenen Zusammenbruches der klassischen Grenzschichtgleichungen in der Nähe eines Ablösepunktes durch Goldstein 1948 und die unabhängige Entwicklung der unter dem Begriff "Dreierdecktheorie" bekannten Beschreibung von Grenzschicht-Außenströmungs-Wechselwirkungsvorgänge von Stewartson, Messiter und Neiland Ende der 60er Jahre. Bei konventionellen Dreierdeck-Problemstellungen regen sprunghafte Änderungen der Randbedingungen oder singuläres Verhalten des aufgeprägten Druckgradienten den lokalen Wechselwirkungsmechanismus an. Im Gegensatz dazu wird in Fällen von so genannter marginaler Ablösung der Wechselwirkungsvorgang durch die Erhöhung eines, den "schädlichen" aufgeprägten Druckgradienten steuernden, Parameter ausgelöst. Ruban und Stewartson, Smith und Kaups gelang unabhängig voneinander Anfang der 80er Jahre die asymptotisch korrekte Beschreibung dieses Wechselwirkungsvorganges, welche als Theorie marginaler Ablösung bezeichnet wird. Sie stellt den Ausgangspunkt des beantragten Projektes dar, das den laminar- turbulenten Strömungsumschlag in laminaren Ablöseblasen behandelt. Gemäß dieser Theorie ergibt sich bekanntlich für die Existenz von ausschließlich stationärer, d.h. ungestörter, Strömung eine obere Grenze für den Steuerparameter. Die Berücksichtigung von instationären Effekten führte zur Erkenntnis, dass der Transitionsvorgang entweder mit dem Überschreiten des Grenzsteuerparameterwertes oder mit Störeinflüssen hinreichender Stärke im unterkritischen Parameterbereich ausgelöst wird. Das Ausschleudern von Wirblen aus der Ablöseblase macht sich im Rahmen der bestehenden Theorie durch das Auftreten von Singularitäten innerhalb endlicher Zeit bemerkbar. Wie vor kurzem festgestellt wurde, ist dabei die innere Struktur der Singularität - völlig unabhängig von der Vorgeschichte der Strömung - eindeutig festgelegt. Der damit verknüpfte Zusammenbruch der Theorie legt das Auftreten kleinerer Skalen nahe. Die weitere Entwicklung der Strömung wird lokal durch eine Dreierdeck-Problemformulierung beschrieben, welche ebenfalls mit dem Auftreten einer Singularität zusammenbricht. Die Verfolgung dieser "Zusammenbruchs-Kaskade", welche den fortschreitenden Wirbelzerfall widerspiegelt, ist wesentlicher Bestandteil des Projektes. Da der reale Transitionsvorgang wesentlich von dreidimensionalen Effekten begleitet ist, zielen wir auf eine dementsprechende Erweiterung der Theorie ab. Auch in diesem Fall erwarten wir tiefere Einsicht in Bezug auf die Eindeutigkeit von Singularitätsstrukturen und die Fortsetzbarkeit von Lösungen über den Zusammenbruchszeitpunkt. Darüber hinaus spricht das Projekt Aspekte von Strömungskontrolle und Transitionsdetektion an. Der vorliegende Zugang zu einem überaus wichtigen Strömungsproblem erfolgt über die umfassende Verwendung von Störungsmethoden und den Einsatz innovativer numerischer Verfahren.

Die für den Widerstand eines schlanken Flugkörpers (z.B. Tragflügel) verantwortlichen Reibungseffekte sind bei hohen Geschwindigkeiten und geringen Zähigkeiten des Strömungsmediums auf eine dünne, körpernahe Schicht (Grenzschicht) konzentriert. Von besonderem Interesse sind dabei jene Strömungszustände, welche zur (lokalen) Ablösung der Grenzschicht von der Körperkontur führen. Strömungsablösung wirkt sich destabilisierend auf die Gesamtströmung aus (im Extremfall führt dies zum Zusammenbruch des Auftriebs), lokale Ablöseblasen bewirken typischerweise den laminar-turbulenten Umschlag der Grenzschichtströmung. Die Untersuchung dieses Phänomens ist deshalb von großer Bedeutung, weil die stromab der Ablöseblase vorliegende turbulente Strömungsform im Gegensatz zur laminaren mit einem höheren Reibungswiderstand (Treibstoffverbrauch) verbunden ist. Außerdem verspricht man sich von einem grundlegenden physikalischen Verständnis des laminar-turbulenten Transitionsvorganges mehr Einsicht in die Dynamik der Turbulenz selbst. Die vorliegende Untersuchung basiert weder auf experimentellen, noch auf ausschließlich numerischen Methoden, sondern auf einem analytischen Zugang (singuläre Störungsrechnung, Methode der angepassten asymptotischen Entwicklungen), die dabei gewonnenen Gleichungen (Ähnlichkeitsgesetze der Mehrskalenmodellierung) müssen jedoch im allgemeinen numerisch gelöst werden, wobei die meist "unangenehmen" Eigenschaften ("Steifheit") der Gleichungen die Anwendung innovativer numerischer Verfahren erfordert. Die Arbeit steht in der Tradition einer in den 1980er Jahren in England und Russland angestoßenen Grundlagenforschung, die wesentlichen Errungenschaften des vorliegenden Projektes sind: Die relevanten Gleichungen, welche den lokal dreidimensionalen Grenzschichtströmungsablösungsprozess beschreiben, konnten (i) auf alternativem, sehr elegantem, Weg abgeleitet werden. Dieser alternative Zugang ermöglichte es, - neben der Ermittlung der bereits bekannten führenden Ordnung - (ii) auch Korrekturen höherer Entwicklungsordnung zu bestimmen, welche (iii) sich als entscheidend für eine adäquate Beschreibung des sich in der betreffenden Modellvorstellung abzeichnenden laminar-turbulenten Strömungsumschlages erwiesen. Aus bereits älteren Untersuchungen weiß man, dass die oben angesprochen Modellgleichungen bei Berücksichtigung von instationärem Strömungsverhalten im allgemeinen inkorrekt gestellt sind, d.h. bei kleinen Anfangsdatenänderungen sich grundsätzlich anderes Lösungsverhalten einstellt. Eine genaue Analyse dieses Umstandes führte (iv) auf eine erfolgreiche Regularisierung des Problems, sodass die betreffenden Gleichungen nun als korrekt gestellt bezeichnet werden können. (v) Die Anwendung bzw. Entwicklung innovativer numerischer Verfahren zur Lösung dieser Anfangsrandwertprobleme, d.h. die Berechnung des räumlich-zeitlichen Verhaltens der relevanten Strömungskenngrößen, welche im Wesentlichen auf spektralen Kollokationsmethoden für unbeschränkte Rechengebiete beruhen, runden das bearbeitete Projektspektrum ab.