Lösen Algebraischer Gleichungen II

Dieses Projekt soll verschiedene Ziele bei der Lösung von algebraische Gleichungen verfolgen: Synthetische Geometrie und Visualisierung, Minimal-Model-Programmierung, Geometrie von Arc Spaces, Auflösung von Singularitäten in positiver Charakteristik und Lie-Algebra-Methoden. Das erste Themengebiet (synthetische Geometrie) soll algebraische Geometrie so nahe wie möglich an die Geometrie heranzuführen. Die Stärke der Algebra hat zeitweise die geometrische Intuition, die geometrische Neugierde und eine geometrische Ausdrucksweise an den Rand gedrängt. Trotzdem gibt es noch viele komplizierte geometrische Fragestellungen, oft einfach formulierbar, aber im Allgemeinen schwer lösbar. Das "Minimal-Model-Program" wurde von Mori und anderen als ein Programm zur birationalen Klassifikation von Varietäten initiiert. Unter "Minimal-Model-Programmierung" verstehen wir die konstruktive Seite dieses theoretischen Programms. "Arc Spaces" sind Lösungsmengen von Systemen algebraischer in der Menge der Potenzreihen in einer Variablen. Dies führt zur Untersuchung von Idealen im Polynomring in abzählbar vielen Variablen. Der Zusammenhang zwischen der Geometrie einer algebraischen Singularität und der Geometrie ihres Arc Spaces soll erforscht werden. Die Auflösung von Singularitäten in positiver Charakteristik ist durch neueste Ergebnisse von Bravo/Villamayor, Cossart/Piltant, Cutkosky, Hauser/Wagner und Kawanoue/Matsuki zu einem heißen Thema geworden. Unsere Gruppe hat leistungsstarke Techniken entwickelt, um dieses immer noch ungelöste Problem zu untersuchen. Wir hoffen, dass wir sie anwenden können um signifikante Ergebnisse zu erhalten. Der Zweck der Lie - Algebra - Methode ist, Lie - Algebren von Vektorfeldern zu verwenden, um die Isomorphieklasse von Varietäten zu bestimmen.

Das Hauptziel des Projekts war die Entwicklung neuer Methoden zur Untersuchung geometrischer Phänomene, sogenannte Singularitäten, die beim Lösen algebraischer Gleichungen auftreten. Eine Singularität einer algebraischen Varietät (=eine Nullstellenmenge von polynomialen Gleichungen) ist ein Punkt in dem diese Varietät nicht glatt ist.In diesem Projekt wurden mehrere Techniken entwickelt, um singuläre algebraische Varietäten zu untersuchen: Unendlich-dimensionale Geometrie wurde verwendet, um kombinatorische Identitäten zu beweisen; spezielle Singularitäten, sogenannte Normal Crossings Divisoren, wurden auf rein algebraische Weise charakterisiert; das berühmte Minimal Model Program, welches nach einfachen Modellen für Singularitäten sucht, wurde in speziellen Fällen effektiv gemacht (Minimal Model Programing). Um die Kommunikation zwischen den Experten zu fördern, wurde 2011 das dreiwöchige Forschungsprogramm Algebraic Geometry vs. Analytic Geometry im Erwin Schrödinger International Institute for Mathematical Physics abgehalten.Ein weiterer wichtiger Forschungsgegenstand war das Problem der Auflösung von Singularitäten: Hier wird der Frage nachgegangen, ob eine beliebige singuläre Varietät durch eine glatte Varietät parametrisiert werden kann. In diesem Projekt wurden neue Lösungsansätze für den zwei-dimensionalen Fall dieses Problems entwickelt und hilfreiche Untersuchungen in höheren Dimensionen (das Känguru Phänomen) ausgeführt. Im Sommer 2012 wurde in Obergurgl in den Tiroler Alpen die vierwöchige Clay Summer School The Resolution of Singular Algebraic Varieties abgehalten. In dieser internationalen Summer School, die von Herwig Hauser und dem Clay Mathematics Institute organisiert wurde, hatten 100 internationale Nachwuchsforscher die Möglichkeit, über dieses Problem zu lernen.Ein anderes Ziel des Projekts war, unser Forschungsgebiet der Öffentlichkeit zu kommunizieren. Durch die IMAGINARY Intitiative des Mathematischen Forschungsinstituts Oberwolfach, die seit 2008 eine andauernde Wanderausstellung betreibt, konnten viele Schüler und mathematisch interessierte Laien in inzwischen über 60 Städten auf der ganzen Welt erreicht werden. Teil dieser Ausstellung sind Visualisierungen und Skulpturen von singulären algebraischen Varietäten, die von unserer Forschungsgruppe erstellt wurden. Im Herbst 2013 wurde das neue Gebäude der Fakultäten für Mathematik und Wirtschaftswissenschaften der Universität Wien eröffnet. Die Skulptur Dodekaederstern, eine algebraische Varietät welche durch eine einzelne algebraische Gleichung beschrieben wird und das Zwischenspiel der verschiedenen Gebiete der Singularitätentheorie illustriert, wurde nach Plänen von Herwig Hauser vor dem neuen Gebäude errichtet.