Verifikation von Optimalitätsbedingungen

Viele technische Vorgänge können mit partiellen Differentialgleichungen modelliert werden. Dabei ist es von Interesse, die Prozessparameter optimal zu wählen. Die hier entstehenden Optimierungsprobleme enthalten dabei eine unendlich-dimensionalen Komponente. Deshalb kann man solche Probleme nicht per Hand lösen. Es ist notwendig, endlich-dimensionale Näherungsprobleme zu entwickeln und mit Computerhilfe zu lösen. Hat man eine solche Lösung gefunden, stellt sich die Frage, ob diese Lösung überhaupt in der Nähe eines lokalen oder globalen Optimums der ursprünglichen Aufgabe liegt. Das Projekt beschäftigt sich mit dieser Fragestellung. Es sollen Methoden entwickelt werden, die ein Beantworten der Frage anhand der numerischen Lösung und ein Nachprüfen der Optimalität zulassen.

Im Projekt wurden Methoden untersucht, um die Genauigkeit von Näherungslösungen von Optimalsteuerungsproblemen mit partiellen Differentialgleichungen zu bestimmen. Da diese Gleichungen nicht explizitgelöstwerdenkönnen,werdendiepartiellen Differentialgleichungen diskretisiert. Das so erhaltene endlich-dimensionale System wird benutzt, um eine Approximation der Lösung zu berechnen. Ist so eine Approximation bestimmt, stellt sich die Frage nach der Genauigkeit der Resultate. Im Projekt wurden Methoden entwickelt, diese Frage für zwei Klassen von Problemen zu beantworten. Die erste Problemklasse waren konvexe Optimalsteuerungsprobleme mit Zustands- und Steuerungsbeschränkungen. Hier wurde residuen-basierte a-posteriori Fehlerschätzer untersucht. Basierend auf einer Abschätzung der Nichtzulässigkeit, konnten obere Schranken für den Diskretisierungsfehler angegeben werden. Es konnte bewiesen werden, dass die Fehlerschranke gegen Null konvergiert, wenn die diskreten Variablen gegen die Lösungen des kontinuierlichen Problems konvergieren. In numerischen Experimenten benutzten wir den Fehlerschätzer zur adaptiven Gittersteuerung. Dabei konnte demonstriert werden, dass diese Technik eine effiziente Lösungsmethode ist. Als zweite Problemklasse wurden Probleme mit einer endlichen Zahl von Optimierungsparametern untersucht. Probleme solchen Typs sind zum Beispiel Parameteridentifikationsprobleme, wo unbekannte Parameter eines Modells an Messungen angepasst werden müssen. Hierbei gelang es, die Frage nach der Genauigkeit der Näherungslösung zu beantworten. Wichtige Punkte dabei sind präzise Abschätzungen des kleinsten Eigenwertes der zweiten Ableitung der Lagrange-Funktion sowie konstanten-freie Residuenabschätzungen im Optimalitätssystem. Sind diese Residuen klein gegenüber dem erwähnten kleinsten Eigenwert dann ist die numerische Approximation nahe an der Lösung des kontinuierlichen Problems.