Asymptotische Untersuchung transitionaler Ablöseblasen

Wie allgemein bekannt ist, verlieren die klassischen Prandtlschen Grenzschichtgleichungen ihre Gültigkeit, sobald Ablösung auftritt. In den späten 1960er Jahren begannen zahlreiche Forscher mit der Entwicklung von Strategien zur Behebung dieser Unzulänglichkeit. Ausgehend von der Überlegung, dass die reibungsbehafteten und die reibungsfreien Regionen bereits in führender Ordnung in Wechselwirkung treten sollten, zeigten die Untersuchungen zwei verschiedene Wege auf, das Phänomen der Ablösung einer stationären, laminaren Grenzschicht korrekt zu beschreiben. Einerseits kann eine fest anliegende Grenzschicht durch einen innerhalb einer sehr kurzen Distanz stark ansteigenden Druck gezwungen werden abzulösen. Dieser Ansatz ist unter dem Namen "triple-deck theory" bekannt geworden und zeichnet sich dadurch aus, dass das Wechselwirkungsgebiet in drei übereinanderliegende Zonen mit jeweils eigenen physikalischen Eigenschaften aufgespalten wird. Die andere Möglichkeit besteht darin, die unterste Schicht durch einen eher sanften, aufgeprägten Druckanstieg, der über einen Parameter G gesteuert wird, auf einem kleinen Gebiet zur Ablösung zu bringen. Dieses Konzept, genannt "marginale Ablösung", wurde bereits derart erweitert, dass auch dreidimensionale und instationäre Effekte und sogar Kompressibilitätseffekte berücksichtigt werden können. Die Ergebnisse, die diese leistungsfähige Theorie liefert, dienen als Basis für das beantragte Forschungsprojekt, welches sich vorranging mit der asymptotischen Analyse des laminar-turbulenten Umschlagprozesses beschäftigen wird, der durch das Platzen einer Ablöseblase hervorgerufen wird. Im Falle der marginalen Ablösung wird die Strömung in der Nähe der Blase durch eine Integro- Differentialgleichung beschrieben, deren stationäre, zweidimensionale Lösungen nur bis zu einem kritischen Wert G c existieren. Des Weiteren hängt diese Gleichung auch von der lokalen Machzahl ab. Vorangegangene Untersuchungen haben ergeben, dass, sobald entweder G c überschritten wird oder große, externe Störungen die Strömung dazu veranlassen, ihren stationären Zustand zu verlassen, nach endlicher Zeit Singularitäten auftreten. Auch durch das Überschreiten eines Schwellenwertes für die Machzahl, der wiederum von G abhängt, kann ein solch starkes Anwachsen der Lösungen ausgelöst werden. Dieses singuläre Verhalten entzieht einerseits dem Konzept der marginalen Ablösung seine theoretische Basis und lässt substanzielle Veränderungen im Strömungsfeld erwarten, andererseits ist es jedoch auch ein Vorbote des Umschlagprozesses. Die Singularitäten weisen nämlich ähnliche Eigenschaften auf wie die Wirbelstrukturen, die aus direkten numerischen Simulationen von transitionalen Ablöseblasen bekannt sind. Darüber hinaus zeigt eine vor kurzem durchgeführte Untersuchung, dass die rasch anwachsenden Lösungen eine selbstähnliche und eindeutige innere Struktur besitzen, die sich gänzlich unabhängig von der Vorgeschichte der Strömung entwickelt. Der Zusammenbruch der Theorie der marginalen Ablösung macht es notwendig, kürzere Längen- und Zeitskalen einzuführen. Das hat zur Folge, dass der weitere Evolutionsprozess der Strömung nun durch ein nichtlineares Triple-Deck-Problem beschrieben wird. Das Forschungsvorhaben hat zwei Hauptziele: (i) Eine detaillierte Untersuchung dieses Problems, insbesondere hinsichtlich der Weiterverfolgung des Umschlagprozesses und des Einflusses von Kompressibilitätseffekten, und (ii) eine Analyse der Mechanismen, die für die Umwandlung der Bewegungen in der Grenzschicht in aerodynamischen Lärm verantwortlich sind. Letztere zielt darauf ab, die jeweils für einen bestimmten Zustand der Grenzschicht charakteristischen Schallmuster zu identifizieren. Die Theorie derart zu erweitern, dass auch dreidimensionale Effekte behandelt werden können, und im Falle des erneuten Auftretens von Singularitäten das nächste Transitionsstadium zu untersuchen, das mit dem Platzen der Ablöseblase einhergeht, ist ebenso geplant.

Die für den Widerstand eines schlanken Flugkörpers, wie z. B. eines Tragflügels, verantwortlichen Reibungseffekte sind bei hohen Geschwindigkeiten und geringer Zähigkeit des Strömungsmediums auf eine dünne, körpernahe Grenzschicht konzentriert. Von besonderem Interesse sind dabei jene Strömungs- zustände, welche zur lokalen Ablösung der Grenzschicht von der Körperkontur führen. Strömungsablösung wirkt sich destabilisierend auf die Gesamtströmung aus, im Extremfall kann dies sogar zum Zusammenbruch des Auftriebs führen. Lokale Ablöseblasen hingegen bewirken typischerweise den Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Grenzschichtströmung. Die Untersuchung dieses Phänomens ist deshalb von großer Bedeutung, weil die stromabwärts der Ablöseblase vorliegende turbulente Strömungsform im Gegensatz zur laminaren mit einem höheren Reibungswiderstand verbunden ist, wodurch beispielsweise der Treibstoffverbrauch eines Fluggerätes ebenfalls in die Ho he getrieben wird. Außerdem verspricht man sich von einem grundlegenden physikalischen Verständnis des laminar- turbulenten Transitionsvorganges mehr Einsicht in die Dynamik der Turbulenz selbst. Die vorliegende Untersuchung basiert vorwiegend auf einem analytischen Zugang unter Verwendung von sogenannten asymptotischen Methoden. Die dabei gewonnenen Gleichungen müssen dann jedoch im Allgemeinen numerisch gelöst werden, wobei die oft auftretenden ,,unangenehmen Eigenschaften der Gleichungen, wie z. B. deren Steifheit, die Anwendung innovativer numerischer Verfahren erfordert.Die Arbeit steht in der Tradition einer in den 1980er Jahren in England und Russland angestoßenen Grundlagenforschung, die sich zunächst mit möglichem Auftreten kleiner Ablöseblasen in einer stationären, d.h. zeitunabhängigen, Strömung beschäftigte. Ausgehend von diesen Studien wurden im Laufe der folgenden Jahre auch die für den Umschlagprozess von laminarer zu turbulenter Strömung relevanten instationären Mechanismen identifiziert und untersucht. Die Schwierigkeiten, die sich dabei bis heute ergeben haben, sind vor allem der Tatsache geschuldet, dass die Strömung offenbar eine Kaskade von Stadien durchläuft, wobei jedes Stadium durch das Auftreten singulärer Lösungen der beschreibenden Gleichungen den Übergang zum nächsten Regime einleitet. Im vorliegenden Projekt wurde nun ein Stadium untersucht, das sich an zwei bereits bekannte anschließt. Aus bereits älteren Untersuchungen weiß man, dass die oben angesprochen Modellgleichungen bei Berücksichtigung von instationärem Strömungsverhalten im allgemeinen inkorrekt gestellt sind, was dazu führt, dass bei kleinen Anfangsdatenänderungen sich ein grundsätzlich anderes Lösungsverhalten einstellt. Eine genaue Analyse dieses Umstandes führte auf eine erfolgreiche Regularisierung des Problems, sodass die betreffenden Gleichungen für dieses Zwischenstadium nun als korrekt gestellt bezeichnet werden können. Die Anwendung und Entwicklung innovativer numerischer Verfahren zur Lösung der auftretenden Anfangsrandwertprobleme, d.h. zur Berechnung des räumlich-zeitlichen Verhaltens der relevanten Strömungskenngrößen, bilden ebenfalls ein wesentliches Element der Untersuchungen. Diese Algorithmen beruhen im wesentlichen auf spektralen Kollokationsmethoden für unbeschränkte Rechengebiete. Mit deren Hilfe konnte einerseits gezeigt werden, dass auch in diesem Stadium des Transitionsvorganges mit dem Auftreten von Singularitäten zu rechnen ist, andererseits konnten so auch bereits mögliche Kandidaten für die Folgestadien identifiziert werden.