L1 extremal Problem für ganze Funktionen und Spektraltheorie

In den 80-iger Jahren standen fastperiodische Operatoren im Zentrum des Interesses der ma-thematischen Gemeinschaft. Eins der Schlüsselergebnisse ist das Theorem von Kotani, das eine ganz spezifische Spektraleigenschaft von fastperiodischen Jacobi Matrizen aufzeigt: Auf der Trägermenge des absolut stetigen Spektrums ist der Operator reflectionless. Es sei bemerkt, dass unter der Annahme einer regulären homogenen Spektralmenge E bezüglich des Lebesgues Maßes, Sodin und der Projektantragsteller die Umkehrung dieser Aussage bewiesen haben: Jede Jacobi Matrix, die reflectionless auf E ist, ist fastperiodisch. Ein kürzlich von Remling erzieltes Ergebnis entfachte großes neues Interesse für reflectionless Operatoren. Sein Theorem besagt, dass jeder rechtsseitige Grenzwert einer Jacobi Matrix reflectionless auf der Trägermenge des absolut stetigen Spektrums des Ausgangsoperators ist. Als Spezialfall erhält man die Ergebnisse von Rakhmanov und Denisov, was bereits die Wichtigkeit dieser Aussage in beeindruckender Weise demonstriert. In Kombination mit unserem Ergebnis folgt, dass für homogenes E jeder rechtsseitige Grenzwert fastperiodisch ist. Es sei hervorgehoben, dass Remlings Theorem keinerlei Annahmen über E erfordert. Somit stellt sich folgende fundamentale Aufgabe: Man untersuche in Abhängigkeit einer nichthomogenen Spektralmenge E Eigenschaften der rechtsseitigen Limiten. Zum Beispiel haben Poltoratski und Remling kürzlich bewiesen, dass jede reflectionless Jacobi Matrix ein rein absolut stetiges Spektrum besitzt, wenn E schwach homogen ist. Unsere früheren Ergebnisse besagten, dass solche Matrizen absolut stetiges Spektrum besitzen, wenn das Resolventengebiet vom Widom Typ ist und auf ihm das direkte Cauchy Theorem (DCT) gilt. Kürzlich haben wir Gebiete vom Widom Typ konstruiert, sodass eine reflectionless Matrix eine singuläre stetige Spektralkomponente haben kann. Wir möchten nun unsere Studien mit dem Fall beginnen, wenn die Menge E aus einer Familie von Intervallen besteht, die gegen den unteren Randpunkt von E konvergieren, und folgendes Problem untersuchen: Finde eine geometrische oder analytische Charakterisierung der Menge E, sodass das Gebiet vom Widom Typ ist und darauf das DCT gilt. Für solch einen Fall sind wir in der Lage zu zeigen, dass das DCT unmittelbar mit einem L1-extremal Problem zusammenhängt, dessen Untersuchung auch von unabhängigem Interesse ist.

Klassische Extremalprobleme für Polynome und ganze Funktionen bilden einen essentiellen Bestandteil der Approximationstheorie und haben zahlreiche Verbindungen zu diversen Problemen der Analysis und der Mathematischen Physik (im Speziellen zur Spekraltheorie). Beginnend bei dem bedeutenden Satz von Korkin-Zolotarev, sowie seinen zahlreichen Verallgemeinerungen von Stieltjes, Bernstein, erweiterten wir die Problemstellung beträchtlich. Das Hauptaugenmerk liegt darauf, die klassische Problemstellung mit der Theorie der Hardy Räume in unendlichfach zusammenhängenden Gebieten, im Speziellen dem Konzept der Widom Gebiete, zu verbinden. Es ist uns gelungen dieses Problem vollständig zu lösen und, unter der Annahme, dass in dem Gebiet das sogenannte Direkte Cauchy Theorem (DCT) gilt, explizite Formeln für die Lösungen zu finden. Außerdem erhalten wir eine völlig neue Charakterisierung von Widom Gebieten mit DCT mithilfe der zugehörigen kanonischen Systeme. Für Gebiete vom Widom Typ in welchen DCT nicht gilt, ist es uns gelungen Hardy Räume zu finden, die natürliche obere und untere Grenzen für die Menge aller Charakter automorphen Hardy Räume auf jenen Gebieten mit gegebenem Charakter bilden. Diese Technik wurde in Anbetracht einer weiteren Anwendung in der Spekralanalyse von ergo-dischen und fast-periodischen Jakobi Matrizen und 1-D Schrödinger Operatoren, entwickelt, welche in der Festkörperphysik als Modell für ungeordnete Systeme, wie Legierungen, Glas und nicht kristalline Materialien, dienen. Im Speziellen fanden wir den Zusammenhang folgender drei wichtiger isospektraler Klassen von reflectionless Jakobi Matrizen: Jakobi Matrizen a) mit, im Carleson Sinn, homogenem Spektrum, b) mit rein absolut stetigem Spektrum. c),sodass DCT in der Resolventenmenge gilt. Weiters entwickelten wir eine allgemeine Theorie der comb Funktionen auf modernem Level. Darauf aufbauend erhielten wir eine präzise Asymptotik des Fehlers der besten Approximation von stückweise stetigen Funktionen auf zwei beliebigen Intervallen durch Polynome. Im Rahmen dieses Projektes beschäftigten wir uns noch mit weiteren Problemstellungen in der Approximations- und Spektraltheorie, wie der Widerlegung einer Widom Vermutung. Obwohl wir uns grundsätzlich mit rein mathematischen Fragestellungen beschäftigen finden unsere Resultate in der gleichmäßigen Approximation Anwendung: Z.B. in der Computerwissenschaft, um ein effektives Approximationsmodell für das sogenannte Inklusion-Exklusion Problem zu finden. Möglicherweise die bedeutendsten Anwendungen unsere Resultate sind die Lösung des Kotani-Last Problems, sowie bedeutende Fortschritte bei der Lösung des Killip-Simon Problems. Die Bedeutung dieses Forschungsgebietes wurde durch die jüngste Entscheidung der IMU unterstrichen: Die Verleihung der Fields Medaille an Avilia, insbesondere für seinen Beitrag in der Spektraltheorie von 1-D Schrödinger Operatoren.