Stabilisierung durch Streuung zufälliger und ebener Wellen

Wir wollen Abfall in gewichteten Energie-Normen i) für die Klein-Gordon-Gleichung mit externen Potentialen und ii) für den an die Klein-Gordon-Gleichung mit externen Potential gekoppelten harmonischen Kristall beweisen. Dazu wollen wir eine neuartige Agmon-Jensen-Kato-Murata-Vainberg Analytizitäts-Theorie der Resolventen für diese Modelle entwickeln. Die Resultate sollen wie folgt angewendet werden: A. Statistische Stabilisierung für den an die Klein-Gordon-Gleichung mit externen Potential gekoppelten harmonischen Kristall. Wir betrachten zufällige translationsinvariante Anfangsdaten die die Durchmischungsbedingung von Rosenblatt bzw. Ibragimov-Linnik erfüllen. Wir wollen zeigen, dass die Verteilung der Lösung zur Zeit t gegen ein Gaußmass konvergiert. Das Resultat ist eine Verallgemeinerung des zentralen Grenzwertsatzes für diese Modelle. Die Bewiese für den Fall ohne externes Potential basieren auf einer Version der Methode der Bernstein-Reihen. Die Erweiterung auf den Fall mit Potential ist durch eine "Dualitätsmethode" gegeben, die eine "gemittelte Streutheorie" verwendet und auf dem Abfall in gewichteten Energie-Normen basiert. B. Dynamische Grundlagen von quantenmechanischen differentiellen Querschnitten (QDCS). Wir wollen ein neuartiges mathematische Modell für "sphärische einfallende Wellen" die von einer lokalisierten periodischen Quelle erzeugt werden einführen. Wir wollen i) die langreichweitige Asymptotik für die "sphärische Grenzamplitude". ii) die Konvergenz der "sphärischen" QDCS gegen die "ebene" QDCS im Grenzwert wenn die Quelle nach Unendlich geht für die Schrödinger und Klein-Gordon-Gleichungen mit externen Potentialen zeigen. Die Konvergeny in ii) stellt die erste dynamische Rechtfertigung der bekannten Formel für QDCS aus der physikalischen Definition als auslaufender bzw. einlaufender Fluss für den Fall eines stationären Flusses dar. Zuvor wurde die Formel als Definition der QDCS (Formeln (1.2) und (A.1.6) in V.Enss und B.Simon, Commun. Math. Phys. 76 (1980), 177- 209). Der Vorteil der sphärischen Wellen liegt in der Tatsache ist dass der zugehörige Anfangszustand identisch verschwindet während er für ebene Wellen den gesamten Raum ausfüllt. Die Problematik wird in M. Reed und B. Simon, "Methods of Modern Mathematical Physics III", pp 355-357 eingehend diskutiert. C. Asymptotische Stabilität von Solitonen. Wir wollen die langzeit Konvergenz zu wandernden Solitonen für relativistische nichtlineare Wellengleichungen mit Anfangsdaten nahe der Solitonenmanigfaltigkeit beweisen. Ähnliche Resultat wurden zuvor für die translationsinvariante Schrödinger-Gleichung und für die Klein-Gordon- Gleichung mit externen Potentialen gezeigt. Die Erweiterung auf den relativistische Fall ist auf dem Abfall in gewichteten Energie-Normen basiert. D. Ausserdem soll eine einführende Lehrveranstaltung zusammen mit einem Vorlesungsskriptum konzipiert werden. Die Konferenzen und "Focused Semesters" über "Scattering and Bound sSates in Quantum Mechanics and Quantum Electrodynamics" sollen organisiert werden.

I. Es wurde der dispersive Zerfall in gewichteten Normen für die Klein-Gordon- und die Schrödinger-Gleichung mit skalaren Potentialen, für die diskrete Klein-Gordon- und Schrödinger-Gleichung und für die magnetische Klein-Gordon- und Schrödinger-Gleichung gezeigt. Insbesondere widerlegen unsere Resultate das gängige Vorurteil eines universellen langsamen Zerfalls von Lösungen eindimensionaler Wellengleichungen. Unser Beweis zeigt, zum ersten Mal, dass der langsame Zerfall für die eindimensionale Wellengleichung durch die Resonanz an der Bandkante des stetigen Spektrums beding ist. Diese Resultate erlauben eine Weiterentwicklung der Stabilitätstheorie für nichtlineare hamiltonsche partielle Differentialgleichungen. II. Es wurde die globale Attraktion solitärere Wellen der an nichtlineare Oszillatoren gekoppelten Klein-Gordon-Gleichung, und für die Dirac-Gleichung mit Molekularfeldwechselwirkung gezeigt. Diese Resultate stellen das erste mathematische Modell des Bohr-Übergangs auf stationäre Quantenzustände dar und widerlegt das gängige Vorurteil, dass diese Übergänge nicht dynamisch beschrieben werden können. Der Beweis basiert auf einer neuartigen mathematischen Analyse der Energieabstrahlung mit einer neuen Anwendung des Titchmarsh'schen Faltungssatz. Diese Resultate geben neue Einsichten in die mathematische Beschreibung grundlegender quantenmechanischer Phänomene (Bohr-Übergänge und de Broglie Welle-Teilchen-Dualität). III. Es wurde die asymptotische Stabilität und Streuasymptotiken für solitäre Wellen für die eindimensionale relativistische Ginzburg-Landau-Gleichung, für die dreidimensionale Dirac-, Maxwell- und für die an ein Teilchen gekoppelte Wellengleichung, und für die an einen nichtlinearen Oszillator gekoppelte eindimensionale Schrödinger-Gleichung gezeigt. Diese Resultate werden durch das Problem der Stabilität von Elementarteilchen inspiriert. Die Beweise basieren auf einer neuartigen Erweiterung des Zugangs von Buslaev-Perelman-Sulem aus den Jahren 1991-2003 im Kontext der nichtlinearen translationsinvarianten Schrödinger-Gleichung. Das Problem der Erweiterung auf relativistisch invariante Gleichungen war seit mehr als 20 Jahren ungelöst. Eine der Hauptzutaten des Beweises war unser Resultat über den dispersiven Zerfall von Lösungen der linearisierten Gleichungen. Eine weitere wichtige Zutat war unsere Theorie der Eigenfunktionsentwicklung die auf einer speziellen Version der Krein-Langer-Theorie selbstadjungierter Operatoren in Hilberträumen mit indefiniter Metrik. IV. Es wurde die Konvergenz zur Gleichgewichtsverteilung für Diracopeartoren mit Potential gezeigt für Anfangswerte die zufällige Funktionen sind und die Mischungsbedingung von Rosenblatt oder Ibragimov-Linnik erfüllen. Dieses Resultat stellt eine weitreichende Verallgemeinerung des Zentraler Grenzwertsatzes zuf hamiltonsche partielle Differentialgleichungen dar. Dieses Resultat stellt eine Fortschritt bei der Rechtfertigung der statistischen Gleichgewichtsphysik dar und widerlegt das gängige Vorurteil dass die Konvergenz zum statistischen Gleichgewicht in zeitreversiblen hamiltonschen Systemen unmöglich ist. Die Beweise basieren auf einer Weiterentwicklung unseres Zugangs für die Klein-Gordon-Gleichung und aktuellen Resultaten von N. Boussaid zum dispersiven Zerfall von Lösungen der Dirac-Gleichung. V. Es wurde eine dynamische Rechtfertigung des Streuquerschnitts gegeben. Dieses Problem wurde in Band III des klassischen Buchs von Reed & Simon gestellt. Wir konnten zum ersten Mal eine solche Rechtfertigung im Kontext der Schrödinger-Gleichung geben. Bisherige Zugänge basierten auf einem zufälligen Teilchenstrahl. Unser neuartiger Zugang ist vollständig verschieden und beruht auf sphärisch einfallenden Wellen einer lokalisierten Quelle die eine geheizte Kathode modelliert. Wir rechtfertigen die bekannte Formel für den differentiellen Streuquerschnitt in einem zweifachen Grenzwert: zuerst zeigen wir das Grenzamplitudenprinzip für große Zeiten und danach dass die sphärische Grenzamplitude zu einer ebenen Streuamplitude konvergiert wenn die Quelle gegen Unendlich geht.Solch eine rein auf Wellen basierende Theorie ist wichtig für ein dynamisches Verständnis der Wahrscheinlichkeitsinterpretation der Quantenmechanik. Der Beweis basiert auf unseren dispersiven Abschätzungen und einer neuartigen Anwendung des Eindeutigkeitssatzes von Ikebe für die Lippmann-Schwinger-Gleichung. Eine weitere wichtige Zutat ist unsere Verfeinerung der Povzner-Ikebe- und Berezin-Schubin-Asymptotik für das Coulomb-Potential.