Randwertprobleme mittels symbolischer Integraloperatoren

Dieses Projekt befasst sich mit Symbolic Computation für Randwertprobleme mittels konstruktiver Algebren von Integraloperatoren. Im Einzelnen sollen die folgenden Ziele behandelt werden (für lineare Randwertprobleme / Integraloperatoren außer beim vierten): (1) Ermittlung konstruktiver Klassen von Randwertproblemen / Integraloperatoren (2) Operationen auf Randwertproblemen und Repräsentation von Lösungen (3) Faktorisierung von Randwertproblemen in Probleme niedrigerer Ordnung (4) Algebraische Aspekte von linearen und nichtlinearen Integraloperatoren (5) Implementierung von Prototypen der wichtigsten Algorithmen (6) Kombination mit numerischen Methoden (7) Anwendungen in der Versicherungsmathematik Trotz der offensichtlichen Anwendungsrelevanz ist dem Thema Randwertprobleme - im Gegensatz zu Differentialgleichungen per se - im Bereich des symbolischen Rechnens bislang wenig Beachtung geschenkt worden. Dennoch ist die Behandlung von Randbedingungen wichtig, da diese in vielen Anwendungen auf natürliche Weise auftreten und zur Einschränkung des Lösungsraums von partiellen Differentialgleichungen unabdingbar sind. Wir verwenden Methoden der Computeralgebra zum Repräsentieren und Manipulieren von Randwert-problemen: Dabei werden Integraloperatoren nach einem neuen, von den Autoren entwickelten Ansatz entweder explizit durch einen bestimmten Typ von nichtkommutativen Polynomen oder implizit durch die von ihnen gelösten Randwertprobleme repräsentiert. Das Prinzip der dualen Darstellung bedeutet eine wertvolle Ergänzung der sonst üblichen algorithmischen Methoden für Operatoralgebren; insbesondere ist es nützlich für diverse algebraische Problemstellungen wie die Komposition und Faktorisierung von Randwertproblemen. For the key algorithms to be developed in this project, we plan to create prototype implementations in a computer algebra system. The overall aim is to advance the exact and versatile treatment of boundary problems in Symbolic Computation. Für die wesentlichen im Rahmen dieses Projektes zu entwickelnden Algorithmen soll eine Prototyp- Implementierung in einem Computeralgebrasystem erstellt werden. Unser Gesamtziel ist es, die exakte und flexible Behandlung von Randwertproblemen in der Computeralgebra voranzutreiben.