Exponential Gesetze für Klassen Denjoy-Carleman Differenzierbarer Abbildungen

Roumieu-Klassen von Denjoy-Carleman Typ wurden ursprünglich durch Wachstumsbedingungen an ihre Ableitungen definiert in Abhängigkeit von einer gegebenen (Gewichts-)Folge. In zwei Arbeiten aus 2008 und 2009 konnten P. Michor, A. Rainer und ich selbst diesen Begriff zuerst für nicht- quasianalytischen und in der Folge auch für gewisse quasi-analytische Klassen auf lokalkonvexe topologische Vektorräume erweitern und zeigen, daß unter gewissen Bedingungen an die Gewichtsfolge, insbesonders jene des moderierten Wachstums, die entsprechenden Funktionenräume Exponentialgesetze erfüllen, und unter anderen, daß man kartesisch abgeschlossene Kategorien erhält. Ziel dieses Projekts ist es diese Resultate auf andere Typen und Klassen von Denjoy-Carleman differenzierbaren Abbildungen zu erweitern. Besonderes Augenmerk kann dabei auf folgendes gerichtet werden: 1. Klassen von Abbildungen mit kompakten Träger, welche durch Wachstumsbedingungen der Fourier Transformierten beschrieben werden, wie es von Beurling 1961 vorgeschlagen wurde (siehe Bjorck 1966). 2. Klassen of quasianalytischen Abbildungen ohne die starken Voraussetzungen welche wir in der oben erwähnten Arbeit notwendig waren, nämlich das sich diese als Durchschnitt nicht-quasianalytischer stark log-konvexer Klassen darstellen lassen. Es gibt berechtigte Hofnung, daß dies möglich sein sollte, da die Klasse aller reellanalytischer Funktionen nicht als so ein Durchschnit geschrieben werden kann, aber kartesische Abgeschlossenheit für sie dennoch gilt, wie Michor und ich in 1990 gezeigt haben. 3. Durchschnitte von Klassen wie sie von Chaumat und Chollet 1998, Beaugendre 2001, und Schmets und Valdivia 2005 und 2006 untersucht wurden. 4. Klassen von Beurling Typ, d.h. wo anstelle der Existenz- ein All-Quantor in der Definition verwendet wird.

Es wurden Exponentialgesetze für verschiedene Klassen glatter Abbildungen gezeigt. Mit Exponentialgesetz ist dabei ein Isomorphismus zwischen dem Raum der Abbildungen der entsprechenden Klasse auf einem Produkt und jenem der Abbildungen von einem Faktor in den Funktionenraum auf dem anderen Faktor gemeint. Die behandelten Klassen bestehen aus Denjoy- Carleman differenzierbare Abbildungen, also Abbildungen mit Wachstums-bedingungen an ihre Ableitungen. Im Rahmen dieses Projekts wurde dies für Denjoy-Carleman Klassen von Beurling und Roumieu Typ gezeigt und zwar sogar für solche die durch Gewichtsmatrizen beschrieben werden. Dies inkludiert die durch Gewichtsfolgen bzw. Gewichtsfunktionen beschriebenen Klassen.