Ein MATLAB Paket zur Analyse von Optimalen Kontroll Problemen

In ökonomischen und Management Problem spielen optimale Kontrollprobleme über einen unendlichen Zeithorizont eine wichtige Rolle. Die Anwendung des Pontryagin`schen Maximumprinzips führt in diesem Fall zu einem Randwertproblem auf einem unendlichen Zeitintervall, sodass zur numerischen Lösung die Transversalitätsbedingung typischerweise durch eine asymptotische Transversalitätsbedingung ersetzt werden muss, oder es erfolgt eine Transformation des Zeitintervalls, wodurch das Randwertproblem singulär wird. In diesem Projekt entwickeln wir ein Matlab Paket, das die Lösung solcher Randwertaufgaben ermöglicht. Wir implementieren dazu unter Matlab einen Randwertlöser mit integriertem Fortsetzungsalgorithmus. Dieses Softwarepaket erlaubt die Berechnung der (in)stabilen Pfade sowie Zentrumspfade von Gleichgewichten und Limeszyklen. In weiterer Folge können damit auch globale Bifurkationen gefunden und fortgesetzt werden. Weiters wird die objektorientierte Programmierumgebung von Matlab ausgenützt um ein Objekt zu generieren, das einem optimalen Kontrollmodel für spezifische Parameterwerte entspricht. Die notwendigen Optimalitätsbedingungen erster Ordnung werden mittels symbolischer toolbox berechnet, sowie alle zur Analyse notwendigen Matlab Dateien automatisch generiert. Die für jedes Modell berechneten Resultate können leicht im Objekt selbst gespeichert und abgelegt werden. Darüber hinaus erlauben "plot" Funktionen eine leichte graphische Wiedergabe der berechneten Pfade und Lösungen. Heterokline Bifurkationen des kanonischen Systems haben ihre Entsprechung im Auftauchen von sogenannten DNSS oder Skiba Punkten des optimalen Systems. Das sind Punkte im Zustandsraum für welche vielfache optimale Lösungen existieren. Während also das Auftreten vielfacher Lösungen im kanonischen System oftmals in Verbindung mit einer heteroklinen Bifurkation des kanonischen Systems steht, führt dies im optimalen Vektorfeld zu "optimalen" Bifurkationen, beispielsweise zu einer "Indifference-Attractor-Bifurkation", wie sie Florian Wagener beschreibt. Damit eignet sich unser Softwarepaket gut zur numerischen Bifurkationsanalyse des optimalen Vektorfeldes. Für Modell mit zwei und mehr Zuständen können DNSS Kurven, bzw. DNSS Flächen existieren, die ebenfalls mittels Fortsetzungsalgorithmus aus einem DNSS Punkt berechnet werden können. Für die effiziente Berechnung der Lösungspfade ist die Verwendung eines Randwertlösers, der gut an die speziellen Anforderungen aus den optimalen Kontrollproblemen angepasst ist, Voraussetzung. Dazu gehört neben dem möglichen Auftreten von Singularitäten auch die Behandlung von algebraischen Differentialgleichungen, sowie die Implementierung eines Fortsetzungsalgorithmus. Um diesen Anforderungen gerecht zu werden wird in enger Zusammenarbeit mit der Forschungsgruppe von Ewa Weinmüller der von ihnen entwickelte Randwertlöser spezielle auf unsere Anforderungen weiterentwickelt und angepasst.

Eines der wesentlichen Ziele dieses Projekts war die Entwicklung eines auf MATLAB basierenden Softwarepakets (OCMat), das die Behandlung optimaler Kontrollprobleme über einen unendlichen Zeithorizont erlaubt. Eine besondere Schwierigkeit bei Problemen über einen unendlichen Zeithorizont ist es Bedingungen für die Lösung am Ende zu bestimmen. Da die, bei den untersuchten Modellen, auftretenden funktionalen Terme meist nichtlinear sind, erfolgt ein Großteil der Analyse numerisch. Bei der hier umgesetzten Methode wird zunächst das Lösungsverhalten des Modells im Unendlichen analysiert. Dies umfasst die Berechnung von Gleichgewichten, periodischen Lösungen ebenso, wie mögliches Divergenzverhalten. Anschließend an die Berechnung aller Möglichkeiten von Langzeitverhalten wird diese Information genutzt um Lösungen für beliebige Anfangswerte zu berechnen. Das Verfahren für diese Berechnungen beruht dabei auf der Lösung eines Randwertproblems verknüpft mit einer Fortsetzungsmethode. Dieser Ansatz erlaubt es,ausgehend von der bekannten Langzeitlösung, weitere Lösungen für beliebige Anfangszustände beziehungsweise Parameterwerte zu bestimmen.Realisiert wurde dies innerhalb der Programmierumgebung von MATLAB. Dabei wurde auch versucht, Schritte und Aufgaben, die bei dieser Art von Problemstellung immer wieder durchzuführen sind, zu automatisieren. Am Anfang erstellt der Anwender eine, unter Einhaltung einer vorgegebenen Syntax, Initialisierungsdatei, die das zu untersuchende Modell beschreibt. Unter Verwendung der symbolischen Rechenkapazität von MATLAB werden die notwendigen Optimalitätsbedingungen hergeleitet. Danach werden die für die numerischen Untersuchungen benötigten Dateien automatisch erstellt. Diese Automatisierung erlaubt es, im Normalfall, nach der Modellformulierung innerhalb weniger Minuten mit der numerischen Analyse zu beginnen. Auch wenn dieser Teil kein spezifisch mathematisches Problem darstellt, so bringt er in der täglichen Anwendung eine wesentliche Erleichterung, da flexibel und schnell geänderte Modellformulierungen umgesetzt werden können. Ein weiterer Schwerpunkt war es die schon erhaltenen Resultate in einer konsistenten Weise einem Modell zuzuordnen und für eine spätere Untersuchung wieder zur Verfügung zu stellen. Dazu wurde die Klassenstruktur der Programmierumgebung verwendet und unterschiedlichste Funktionen zur Verfügung gestellt, die das Abspeichern, Laden und die graphische Darstellung der Berechnungen unterstützen. Dies alles erfolgt modellspezifisch und erlaubt somit die gleichzeitige Behandlung mehrerer Modelle.Über den wissenschaftlichen Anwendungsbereich hinaus wurde innerhalb von OCMat auch eine Schnittstelle zu den open source Programmen (Synfig Studio und Blender) geschaffen, die es erlaubt Animationen für die Resultate der optimalen Kontrollprobleme zu erstellen. Dies ist eine wichtige Möglichkeit abstrakte Ergebnisse in vollinhaltlicher Form aber ohne mathematische Vorkenntnisse verständlich darzustellen. Somit unterstützt diese Art der Darstellung eine Diskussion auf Augenhöhe zwischen Wissenschaft und Öffentlichkeit. Beispiele für diese Animationen sind auf der Webseite http://orcos.tuwien.ac.at/research/ocmat_software/#c50711zu finden.