Adaptives Splitting für nichtlineare Schrödingergleichungen

Das Projekt befasst sich mit der Untersuchung der numerischen Lösung von nichtlinearen Schrödingergleichungen. Für die Volldiskretisierung von Anfangswert-Problemen dieser Evolutionsgleichungen wird die Linienmethode untersucht, die für Probleme geeignet ist, bei denen man auf eine geeignete Ortsdiskretisierung und Wahl des Gitters schließen kann. In diesem Zugang wird die Evolutionsgleichung auf ein (im Allgemeinen großes) System von Anfangswertproblemen gewöhnlicher Differentialgleichungen reduziert. Für die resultierenden Probleme werden Splitting-Verfahren hoher Ordnung untersucht werden, speziell auf die Struktur des lokalen Fehlers und daraus abgeleitete Schlussfolgerungen für die adaptive Schrittweitenwahl. Weiters werden neue a priori und a posteriori Fehlerschätzer, basierend auf dem Prinzip der Defektkorrektur, für die Approximation der Matrix- Exponentialfunktion mittels Splitting-Verfahren untersucht, da deren Berechnung ein wichtiges Teilproblem in der Zeitintegration von Evolutionsgleichungen im Kontext der Linienmethode darstellt. Eine Umsetzung dieses Konzepts für nichtlineare Gleichungen stellt eine nichttriviale Erweiterung dar. Die Anwendung aller gewonnenen Erkenntnisse auf die nichtlinearen Einteilchen-Schrödingergleichungen, die aus Reduktionsansätzen für die hochdimensionale lineare Vielteilchen-Schrödingergleichung wie zeitabhängiger Dichtefunktionaltheorie oder Multikonfigurations-zeitabhängiger-Hartree-Fock Methode resultieren, soll das Projekt praxisorientiert abrunden.

Das Projekt war der numerischen Losung nichtlinearer zeitabhängiger Schrödinger-Gleichungen gewidmet. Dieser Typ von partiellen Differentialgleichungen beschreibt quantenphysikalische Zustände. Die numerische Integration am Computer erfordert Diskretisierung in Ort und Zeit und daraus resultierend Übergang zu einem endlichdimensionalen System. Für die resultierenden diskreten Probleme wurden Splitting-Approximationen hoher Genauigkeit untersucht, bei denen das volle Problem in zwei Teilprobleme zerlegt wird, die unter Verwendung von Standardverfahren wesentlich effizienter behandelt werden können. Im Detail wurden folgende Ergebnisse erzielt: Konstruktion und Analyse von Splitting-Verfahren höherer Ordnung (die Ordnung einer Verfahrens ist ein Maß für seine lokale Genauigkeit), Konstruktion und Analyse von berechenbaren Approximationen für den lokalen Fehler der Verfahren, die eine präzise angepasste Wahl der Zeitschritte ermöglichen, eine Erweiterung auf allgemeiner anwendbare Zerlegungen in mehr als zwei Teilprobleme, Analyse, Implementierung und Test von Verfahren für verschiedene Typen von Schrödinger-Gleichungen.