Global solutions of the vacuum Einstein equations with initial data on a light-cone

Das Cauchy Problem ist die einzige systematische Methode zur Konstruktion von Lösungen der Einsteinschen Feldgleichungen. In diesem Projekt werden wir lokale und globale Existenzsätze für ein Cauchy-Problem beweisen, bei dem Anfangsdaten auf einem Lichtkegel vorgegeben sind. Die Hauptprobleme, die wir analysieren möchten, sind: 1. Die derzeitige Existenztheorie für nichtlineare charakteristische Anfangswertprobleme kann nur Lösungen nahe der Spitze des Lichtkegels oder nahe an der Kreuzungsfläche produzieren. Wir werden beweisen, dass eine Lösung nahe an einer maximalen Untermenge der Cauchyfläche existiert, die durch die Transportgleichungen für die ersten transversalen Ableitungen definiert ist. 2. Wir werden beweisen, dass Anfangsdaten auf dem Lichtkegel, die geeignet nahe an jenen für die Minkowski Raumzeit liegen, zu Lösungen führen, die global in der Zukunft des Lichtkegels sind. 3. Wir werden Raumzeiten konstruieren, für die Anfangsdaten auf "past null infinity" gegeben sind. Genauer gesagt, die in der fernen Vergangenheit definierten einlaufenden Strahlungsfelder spielen die Rolle der Anfangsdaten. Ein derartiges Problem kann konform auf eines zurückgeführt werden, wo bestimmte Gravitationsfelder auf einem Lichtkegel vorgeschrieben sind, der "unendlich weit in die Vergangenheit geschoben wurde".

Einsteins Feldgleichungen bilden das Herz der allgemeinen Relativitätstheorie. Es handelt sich bei ihnen um ein kompliziertes System von partiellen Differentialgleichungen für das Gravitationsfeld, das beschreibt auf welche Art und Weise die Raumzeit durch Materie gekrümmt wird. Ein zentraler Bestandteil aktueller Forschung ist es Lösungen dieser Gleichungen zu konstruieren, die physikalisch relevante Konfigurationen repräsentieren. Insbesondere ist man an sogenannten asymptotisch flachen Raumzeiten interessiert, die dadurch charakterisiert sind, dass das Gravitationsfeld ein bestimmtes Abfallverhalten im Unendlichen zeigt. Solche Raumzeiten bilden Modelle für isolierte Gravitationssysteme.Das Hauptziel dieses Projektes bestand darin, solche Raumzeiten zu konstruieren. Zu diesem Zweck wurde eine neue Methode entwickelt, die dieses über einen neuen Zugang zum charakteristischen Anfangswertproblem sowie eine Umformulierung der Einstein-Gleichungen realisiert. Für dieses System von Gleichungen wurden mathematische Sätze bewiesen, die einen rigorosen Beweis der Existenz von asymptotisch flachen Lösungen ermöglichten. Das Ziel, neue, große Klassen von asymptotisch flachen Lösungen zu konstruieren, wurde erreicht. Des Weiteren wurde das Verhalten solcher Lösungen im Unendlichen detailliert beschrieben.Weil Lösungen, die gewisse Symmetrien aufweisen, eine besondere Rolle in der Physik zukommt, haben wir unsere ursprünglichen Ziele erweitert und eine ausführliche Analyse von charakteristischen Anfangsdaten gegeben, die zu Lösungen der Einstein-Gleichungen mit Symmetrien führen. Schließlich wurden diese Resultate mit den zuvor beschrieben kombiniert, um eine neue Familie von Raumzeiten zu erhalten, die sowohl asymptotisch flach sind als auch Symmetrien aufweisen.