Phasenübergänge und neue Hodge-artige kategorientheoretische Invarianten

Dieser Antrag beschreibt ein dreijähriges Projekt, das von L. Katzarkov und D. Favero geleitet und an der Universität Wien durchgeführt werden soll um Phasenübergänge zu untersuchen. Es wurden viele neue Sätze von den Hauptforschern bewiesen, was das Interesse an dem Thema dramatisch erhöht hat und das Gebiet an einer wichtigen Stelle der Forschung platziert. Diese neuen Sätze haben das Feld weit geöffnet. Sie erlauben, die Orlov Spektren zu berechnen um klassische Fragen der algebraischen Geometrie über Rationalität und algebraische Zyklen zu beantworten. Die Implementierung von Phasenübergängen wird in einer grundlegenden Überholung der homologischen projektiven Dualität resultieren und dabei nicht nur eine gewaltige Verallgemeinerung von vorheriger mathematischer Arbeit und einer immensen Anzahl von neuen Beispielen, sondern auch eine unglaublich frische Perspektive liefern. Diese überraschende und aufregende mathematische Entdeckung ergibt viele neue Möglichkeiten und man wird vereintes Bemühen von vielen Forschern benötigen, um ihre Geheimnisse zu entdecken. Deswegen beantragen wir einen Gesamtbetrag von EUR 449.982, um die Personal-und Reisekosten zu decken. Dieses Projekt wird von offiziellen Verträgen mit F. Bogomolov, A. Kuznetsov and D. Orlov in Moskau und dem Institute for Mirror Symmetry an der KSU auf Basis unserer Zusammenarbeit mit Y. Soibelman und I. Zharkov unterstützt. Im Folgenden legen wir unseren strategischen Plan dar, um dieses Gebiet zu verbessern. Im ersten Jahr werden D. Favero, M. Ballard und L. Katzarkov dieses von Phasenübergängen in der Physik inspirierte mathematische Phänomen weiterentwickeln und die Resultate auf Fragen über Griffiths Gruppen und der Hodge Vermutung anwenden. Im zweiten Jahr, nach Entwicklung der Techniken der Phasenübergänge, werden wir unsere Ergebnisse auf die Theorie der Orlov Spektren und Spektrallücken anwenden. Die Projektleiter und Postdocs werden immens vom Fachwissen von den Besuchern und Mitforschern D. Orlov, T. Pantev, M. Kontsevich, C. Simpson und Y. Soibelman profitieren, die alle Wien zweimal für die Dauer von drei Monaten besuchen werden. Außerdem werden wir eine Konferenz am Erwin Schrödinger Institut (ESI) und zwei zusätzliche Konferenzen in Moskau abhalten, die Bogomolov`s Werk über Rationalität gewidmet sein werden. Im dritten Jahr werden wir uns darauf konzentrieren, den Zusammenhang zwischen Spektren und Wall Crossing im Moduliraum der Stabilitätsbedingungen zu verstehen. In diesem Zeitraum werden unsere Beiträge zur Wiener und weltweiten Wissenschaft in einem Lehrsemester am ESI gipfeln, in dem homologische Spiegelsymmetrie, Matrixfaktorisierungen und Phasenübergänge gelehrt wird. Dieses Semester wird großartige Möglichkeiten bieten, einerseits für neue Forscher auf dem Gebiet, und auch für Experten um ihr Wissen zu teilen. Es wird auch dazu dienen, die Ergebnisse, die in diesem Projekt erarbeitet wurden, zu verbreiten. Abseits von den Workshops und dem Lehrsemester sind zwei Konferenzen geplant, deren Ergebnisse in internationalen Zeitschriften und PLMS veröffentlicht werden. Wir wollen hier erstens betonen, dass dies ein internationales Projekt ist, in dem wir die Bemühungen von den bedeutendsten Forschern, die alle führende Institutionen vertreten, kombinieren. Zusammen haben diese Forscher eine beeindruckende Geschichte, in der Forschung eine Vorreiterrolle durch eine Fülle an Kollaborationen einzunehmen. Zweitens wird diese Forschung massive Auswirkungen auf mehrere Gebiete haben - algebraische Geometrie, symplektische Geometrie, homologische Algebra und String Theorie. Drittens wird dieses Projekt das wissenschaftliche Leben in Wien großartig bereichern und Studenten und Postdocs in Wien die großartige Möglichkeit bieten, von den Besten in diesem Gebiet zu lernen, mathematische Zentren zu besuchen und starke, langanhaltende Forschungspartnerschaften zu formen.

Die Ideen der homologischen Spiegelsymmetrie (HMS), hervorgebracht durch Kontsevich, haben zu dramatischen Fortschritten in der Art und Weise geführt, in der Mathematiker auf Ideen aus der theoretischen Physik zugehen. Diese Entwicklungen haben eine hektische Betriebsamkeit unter Mathematikern ausgelöst, welche eine beachtliche Synergie zwischen unterschiedlichen mathematischen Gebieten geschaffen hat, insbesondere der symplektischen Geometrie, algebraischen Geometrie, und der Kategorientheorie. Die Homologische Spiegelsymmetrie (HMS) bildet gegenwärtig die Basis einer weiten Reihe von aktuellen Themen in der mathematischen Forschung welche sich ihrem Ideenkreis widmen. Hauptziel dieses Projektes ist es, geometrische Anwendungen der HMS zu entwickeln. 1) Der Beweis der homologischen Spiegelsymmetrie sowie der Nachweis eines Zusammenhangs mit Phasenübergängen und VGIT 2) Entwicklung einer Theorie der kategoriellen linearen Systeme 3) Zusammenhänge zwischen dynamischen Systemen und abgeleiteten Kategorien 4) Entwicklung des Begriffs der kategoriellen Kähler-Metrik Diese Forschungsrichtungen haben bedeutende Konsequenzen für klassische Fragen in der algebraischen und symplektischen Geometrie. Diese letzten beiden - entwickelt in den letzten drei Jahren - sind bahnbrechende neue Gebiete in der aktuellen Spitzenforschung. Es wurden einige hoch qualifizierte Postdocs und gut vorbereitete Dissertanten betreut: A. Noll, F. Haiden, und G. Dimitrov. Die erzielten Resultate wurden in mehreren Arbeiten festgehalten. Drei Konferenzen haben uns erlaubt unsere neuen Ergebnisse zu verbreiten. Das hier vorgestellte Projekt hat bedeutende und weitreichende Auswirkungen: 1. Vertiefung der Beziehung mit der theoretischen Physik. 2.Herleitung eines unerwarteten Zusammenhangs zwischen Kategorientheorie, Komplexität, und dynamischen Systemen. 3. Unterstützung der Ausbildung einer neuen Generation von Forschern. Unsere Tätigkeit hatte einen weiten schulischen Effekt und steht im Zusammenhang mit der Physik. Alle oben genannten Richtungen waren maßgeblich in der Entwicklung von Ideen zur Zusammenfügung von Phasenübergängen, algebraischen Zyklen, und Spektren, und geben so unseren Anteil an die Physik zurück.