Kardinalzahlcharakteristiken und großes Kontinuum

Georg Cantors "Kontinuumshypothese", die Frage nach der Größe oder "Kardinalität" der reellen Zahlengerade, steht an der Spitze der berühmten Liste von 23 Problemen, die David Hilbert im Jahr 1900 der mathematischen Öffentlichkeit präsentierte: Folgt die Kardinalität der reellen Zahlen direkt auf die Kardinalität der natürlichen Zahlen, oder gibt es Teilmengen der reellen Zahlen, die weder abzählbar sind noch gleichmächtig mit der Menge aller reellen Zahlen? Diese Frage führt in natürlicher Weise zu einer Untersuchung von Teilmengen (oft: pathologischer Teilmengen) der Zahlengerade. In diesem Projekt werden wir Methoden untersuchen und weiterentwickeln, mit deren Hilfe man mengentheoretische Universen (also: mathematische Strukturen, in denen die mengentheoretischen ZFC-Axiome gelten) konstruieren kann, in denen es Teilmengen der reellen Zahlen mit vorgegebenen Eigenschaften gibt (wie zum Beispiel: eine Menge kleiner Kardinalität, die nicht Lebesgue-messbar ist). Die Methoden, die wir betrachten, lassen sich unter dem Titel "Forcing-Iterationen" zusammenfassen; wir zeigen Punkte auf, die mit den derzeit bekannten Methoden nicht behandelt werden können, und versuchen, neue Methoden zu entwickeln.

Die mathematische Logik erreichte die Moderne mit der Arbeit von Kurt Gödel an der Universität Wien, wo er in den dreißiger Jahren des 19. Jahrhunderts seine berühmten Sätze zur Vollständigkeit und Unvollständigkeit der Logik erster Stufe bewies. In diesem Projekt haben wir uns mit Mengenlehre beschäftigt, ein Gebiet das auch Gödel in seinen späteren Jahren besonders interessiert hat.Wir haben uns insbesondere mit Teilmengen der reellen Zahlengeraden beschäftigt. Die Mengenlehre begann mit Georg Cantors Entdeckung, dass viele verschiedene Unendlichkeiten gibt; die kleinste ist die Unendlichkeit der "abzählbaren Mengen, und Cantor zeigte, dass die Unendlichkeit der reellen größer als diese ist. Aber um wieviel größer? Ist es die nächstgrößere Unendlichkeit? Oder die danach? Oder müssen wir erst unendlich viele Unendlichkeiten passieren, bis wir die Unendlichkeit der reellen Zahlen erreichen?Paul Cohen's Forcing-Methode zeigte, dass man mathematische Universen konstruieren kann, die sich so sehr von einander unterscheiden, dass die Antwort auf die obigen Fragen in verschiedenen Universen verschieden ausfällt.In diesem Projekt haben wir mehrere solcher Universen konstruiert, in denen es viele verschiedene Unendlichkeiten unter der Unendlichkeit der reellen Zahlen gibt. Einige dieser Unendlichkeiten sind gut bekannt, weil sie etwa mit Begriffen aus der Analysis verwandt sind, wie zum Beispiel: welche Funktionen kann man integrieren?