Schnelle Zeitbereichs Randelementmethode für teilgesättigte poröse Materialien

In vielen Anwendungen im Ingenieurwesen müssen unbeschränkte Gebiete modelliert werden. Vor allem Wellenausbreitungsvorgänge sind häufig in solchen Gebieten von Interesse. Ein Beispiel ist die Boden-Bauwerks- Interaktion. Bei diesen Problemstellungen werden die einzelnen Bereiche durch unterschiedliche physikalische Modelle dargestellt und daher sollten auch unterschiedliche numerische Methoden eingesetzt werden. Im Speziellen ist die Abstrahlung der Wellen in den umgebenden Boden korrekt, d.h. ohne künstliche Reflektionen, zu modellieren. Dafür ist die Randelementmethode (BEM) im Zeitbereich besonders gut geeignet. Allerdings sollte das poroelastische Materialmodel des Bodens auch die drei Phasen Festkörper, Wasser und Luft berücksichtigen. Im vorliegendem Projekt wird ein lineares poroelastisches Drei-Phasen-Model aufbauend auf der Mischungstheorie benutzt. Die für die BEM nötigen Fundamentallösungen können im Bildbereich der Laplacetransformation hergeleitet werden und in eine auf der Faltungsquadratur aufbauenden BEM implementiert werden. Um jedoch ein effizientes Verfahren zu erhalten muss diese Zeitbereichsformulierung der BEM durch sogenannte schnelle Methoden verbessert werden. Es werden die Adaptive Cross Approximation und das Panel Clustering eingesetzt. Leider verringert sich die Effizienz beider Verfahren bei Erhöhung der Frequenz. Allerdings kann das Panel Clustering für höhere Frequenzen verbessert werden, wenn eine richtungsabhängige Clusterung benutzt wird. Es wird das Verhalten für die niedrigen und höheren Frequenzen beider Verfahren untersucht werden, und vermutlich am Ende eine Kombination beider Verfahren eingesetzt.

Im vorliegenden Projekt wurde eine Randelementformulierung für teilgesättigte poröse Materialien, wie zum Bespiel Böden, entwickelt und implementiert. Damit steht erstmalig eine Zeitbereichsformulierung der Randelementmethode (BEM) für teilgesättigte poröse Kontinua zur Verfügung. Erste Schritte zur Implementierung von sogenannten schnellen Methoden zur Effizienzsteigerung dieser Randelementformulierung wurden erfolgreich realisiert.Die Motivation für diese numerische Methode sind vor allem Wellenausbreitungsvorgänge in halbunendlichen Gebieten. Ein Beispiel dafür sind Erdbebenwellen im Boden. Ein wesentlicher Vorteil dieser Methode ist die korrekte Modellierung der Abstrahlung der Wellen in den umgebenden Boden ohne künstliche Reflektionen zu generieren wie dies häufig bei der Finiten Element Methode geschieht. Das benutzte poroelastische Materialmodel berücksichtigt die drei Phasen Festkörper, Wasser und Luft. Hier wurde ein lineares poroelastisches Drei-Phasen-Model aufbauend auf der Mischungstheorie benutzt. Die für die BEM nötigen Fundamentallösung wurden im Bildbereich der Laplacetransformation hergeleitet werden und in eine auf der Faltungsquadratur aufbauenden BEM implementiert. Die entwickelte Methode erlaubt es die schon bekannten schnellen Methoden für elliptische Problemstellungen nach gewissen Modifikationen einzusetzen. Hier wurde die Fast Multipole Method (FMM) aufbauend auf einer Kernentwicklung mit Chebyshev-Polynomen untersucht und erfolgreich implementiert. Erstmalig existiert damit eine schnelle BEM für poroelastische Materialien. Die Erweiterung auf das teilgesättigte Stoffgesetzt ist fast abgeschlossen. Offene Fragen sind jedoch noch eine Effizienzsteigerung bei höheren Frequenzen.