Diophantische Gleichungen, arithmetische Progressionen und ihre Anwendungen

Dieses Projekt beschäftigt sich mit Diophantischen Gleichungen mit besonderer Rücksicht auf Anwendungen in der Zahlentheorie. Insbesondere sind wir an zwei Hauptthemen (additive Einheitenstruktur von Ringen und arithmetischen Progressionen auf Kurven) und einem kleineren Thema (Diskrepanztheorie) interessiert. Der erste Themenbereich umfasst das sogenannte Einheitensummenproblem für Zahlkörper, bei dem man alle Zahlkörper K charakterisieren will, für die die Maximalordnung von K von ihren Einheiten erzeugt wird. Diesem Problem wurde erst kürzlich Augenmerk durch die Untersuchungen von Ashrafi, Hajdu, Jarden, Narkiewicz und Vmos geschenkt. Darüber hinaus konnte der Antragsteller zusammen mit mehreren Ko-Autoren einige Fälle vollständig charakterisieren (rein kubischer, rein komplex quartischer und bi-quadratischer Fall). Neben dem klassischen Einheitensummenproblem sind wir auch an Variationen von diesem Problem interessiert, z.B. die Existenz von Potenzganzheitsbasen bestehend aus Einheiten, Ordnungen erzeugt aus Summen verschiedener Einheiten und auch an analytischen Aspekten. Um erfolgreich diese Probleme zu lösen, werden neben Methoden aus der Computeralgebra (Gröbnerbasen) auch Diophantische Gleichungen eine Schlüsselrolle spielen. Insbesondere Resultate über binäre Thue Gleichungen, simultanen Pell Gleichungen, Indexform Gleichungen und vielen anderen Typen von Diophantischen Gleichungen werden von großem Nutzen in diesem Projekt sein. Der zweite große Themenbereich betrifft arithmetische Progressionen auf planaren, algebraischen Kruven. Es sei eine planare, algebraische Kurve gegeben durch die Gleichung f(x,y)=0, dann sagt man diese Kurve besitzt eine arithmetische Progression der Länge n, wenn es n rationale Punkte auf der Kurve gibt, sodass die x-Komponenten (oder die y-Komponenten) eine arithmetische Progression bilden. In diesem Projekt wollen wir hauptsächlich quadratische (Pell Gleichungen), elliptische und hyperelliptische Kurven untersuchen. Im Fall der elliptischen Kurven gehen diese Untersuchungen auf Mohanty zurück, der zeigen konnte, dass es keine 5 aufeinanderfolgende ganze Zahlen gibt, sodass diese die y-Komponenten einer elliptischen Kurve der Form y2 =x 3 +k mit einer ganzen Zahl k>0 bilden. Mohanty vermutet auch, dass es keine arithmetischen Progressionen der Länge 4 auf solchen Kurven gibt. Allgemein formuliert, ist es Ziel dieses Projektes die Zahlen m(d) beziehungsweise M(d) zu untersuchen. Dabei entsprechen m(d) und M(d) der größten Zahl n, sodass es ein bzw. unendlich viele Polynome g vom Grad d gibt mit der Eigenschaft, dass die Kurve y2 =g(x) eine arithmetische Progression der Länge n enthält. Solche Fragen sind auch zum Problem der magischen Quadrat bestehend aus Quadraten eng verknüpft. Eine weitere Anwendung Diophantischer Gleichungen wurde im Zusammenhang mit der Diskrepanztheorie gefunden. Einerseits konnte mit der Hilfe des Subspace Theorems von Schmidt gezeigt werden, dass bestimmte Niedrigdiskrepanzfolgen Ecken vermeiden, was unmittelbare Folgen für Quasi-Monte-Carlo-Methoden hat. Andererseits ist die Frage ob eine Teilfolge einer n-alpha-Folge ebenfalls eine Niedrigdiskrepanzfolge ist, eng mit der Anzahl der Lösungen von bestimmten S-Einheiten Gleichungen verknüpft. In diesem Projekt sollen auch diese Aspekte untersucht werden.

Unser alltägliches Leben ist geprägt von Nichtgleichgewichtsphänomänen. Blut strömt durch unser Herz- Kreislaufsystem während wir im Auto oder mit dem Bus zur Arbeit fahren und dabei am Verkehrssystem teilhaben. Währenddessen verfolgen wir die Route am Display des Navigationsgerätes und hören Radio, welche beide durch viele bewegte Ladungsträger betrieben werden. Nichtgleichgewichtssysteme bestehen typischerweise aus einer großen Anzahl individueller Entitäten und sind durch einen Strom im System charakterisiert. Die Weiterentwicklung heutiger Computertechnologie durch Miniaturisierung ist besonders wichtig für leistungsstarke und portable Anwendungen von Morgen, zum Beispiel in den Bereichen der Telekommunikation, intelligenter Taschengeräte oder Wearables. Anstrengungen im Bereich der Miniaturisierung erlauben auch energiesparende Geräte, besseres Gerätedesign und Funktionalität sowie höhere Rechenleistung und Speicherdichte. Dies wird möglich durch künstlich hergestellte Nanostrukturen oder molekulare Bauteile. In diesen Systemen wird der Transport von Elektronen benutzt um logische Informationen zu speichern und schließlich komplexe Operationen auszuführen. Ganz neue Möglichkeiten und Funktionalitäten ergeben sich wenn man es schafft die komplizierten, starken Wechselwirkungen zwischen den Teilchen nutzbar zu machen. Mikroskopische Teilchen werden im Rahmen der Quantentheorie beschrieben welche auf einer dualen Interpretation von Elektronen als Wellen sowie als Teilchen basiert. Um aktuelle Transportexperimente auf Nanometer Skala gut zu verstehen und zu beschreiben werden genaue Theoretische Methoden benötigt. Die theoretische Beschreibung eines quantenmechanischen Systems, welches aus einer großen Zahl von wechselwirkenden Teilchen im Nichtgleichgewicht besteht ist eine Herausfordernde Aufgabe. Durch die Wechselwirkung werden die zugrundeliegenden Gleichungen im allgemeinen unlösbar und gute Näherungsverfahren müssen Entwickelt werden um den Lösungen Vorhersagekraft zu verleihen. In diesem Projekt wurden von ums solche numerischen Näherungsverfahren erfolgreich entwickelt. Nichtgleichgewichts-Clustermethoden basieren auf einer Aufteilung des eigentlich zu lösenden Systems auf mehrere kleinere, lösbare Systeme. Die Eigenschaften des originalen Systems, wie zum Beispiel die Strom-Spannungskennlinie oder die Magnetisierung und die Ladungsdichte können dann aus diesen Einzellösungen berechnet werden. Im Speziellen haben wir die Stationäre-Zustands Clusterstörungsrechnung und deren Weiterentwicklung, den Stationären-Zustands Variationallen Clusterzugang entwickelt. Im letzteren Verfahren benutzen wir eine selbstkonsistente Rückkopplung um verbesserte Ergebnissezu erhalten.Außerdem haben wir konventionelle Mastergleichungstransportrechnungen mit den oben erwähnten Greensfunktionenmethoden verbunden und so die Mastergleichungsbasierte Clusterstörungsrechnung und den Hilfssystem-Mastergleichungszugang entwickelt. Neben diesen Verfahren die für den Nichtgleichgewichts Stationären Zustand geeignet sind, haben wir auch quasi-exakte Echtzeitentwicklungen mit sogenannten Matrix Produkt Zustands Methoden vorgenommen. In unserer Arbeit verwendeten wir die neu entwickelten Methoden um den Ladungstransport durch Quantenpunkte und kleine Moleküle zu untersuchen. Quantenpunkte sind künstlich erzeugte Nanostrukturen welche aus einer kleinen Anzahl von Ladungsträgern in einem geometrisch eingeschlossenen Bereich bestehen, welcher Ihre Quantennatur noch besser zum Vorschein bringt. Solche Quantenpunkte können an einen Quell- und Senk- Kontakt gekoppelt werden um dann als Transistor oder Diode genutzt zu werden. In gleicher Weise können Moleküle mittels Ankergruppen an die Kontakte angebunden werden. Wir haben die Transporteigenschaften von einfach- Quantenpunkten sowie organischen Ringmolekülen in Magnetfeldern berechnet. Außerdem haben wir besondere Effekte des Stromblockings in Bauteilen basierend auf Quanteninterferenz untersucht. Weiters untersuchten wir den Stromtransport durch korrelierte Heterostrukturen. Besonderes Augenmerk in unserer Arbeit liegt auf der Rolle von Elektronischen Korrelationen auf den Ladungstransport. Ein Vorteil der von uns vorgestellten Methoden ist dass diese Korrelationen genauer als mit Standardverfahren beschrieben werden können.