Abhängigkeitsmodellierung für Kredit- und Zinsstrukturmodelle

Der Kreditrisikozuschlag einer Firmenanleihe ist definiert als Differenz zwischen ihrer impliziten Zinsrate und der risikofreien Zinsrate einer Staatsanleihe bzw. - nach den Erfahrungen der jüngsten Staatsschuldenkrise präziser formuliert - einer ausfallfreien Referenzanleihe gleicher Fälligkeit. Sinn und Zweck des Kreditrisikozuschlag ist es, den Besitzer der Firmenanleihe für das inhärente Risiko eines teilweisen oder vollständigen Zahlungsausfalls des Schuldners zu kompensieren. Für die Bewertung von Firmenanleihen - bzw. allgemeiner von ausfallgefährdeten Anleihen oder generell ausfallsensitiven Finanzinstrumenten wie z.B. Kreditderivaten - ist es daher notwendig, sowohl die Entwicklung der zeitlichen Struktur der Kreditrisikozuschläge und der ausfallfreien Zinsrate als auch der Abhängigkeit zu betrachten, sofern eine stochastische Beschreibung gegeben ist. Im Rahmen des strukturellen Kreditrisikomodells, wie es von Longstaff und Schwartz (1995) beschrieben wurde, gibt es eine klare ökonomische Beziehung zwischen den Kreditrisikozuschlägen und der risikofreien Zinsrate, die sich durch eine negative Korrelation äußert. In einem Kreditrisikomodell von reduzierter Form kann diese negative Korrelation widergespiegelt warden durch durch eine entsprechende Korrelationsintensität der Zustandsgrößen, die Kreditrisikozuschläge und die risikofreien Zinsrate antreiben. Werden aber beide Prozesse gemeinsam durch eine affine Diffusion beschrieben, so sind zwar die Anleihenpreise in analytischer Form gegeben, aber wegen der Zulässigkeitsbedingungen können beide Prozesse nicht gleichzeitig positive sein und negativ korrelierte Zuwächse haben. Positive Kreditrisikozuschläge sind ein wichtiges Anliegen, unter anderem weil Cox-Prozesse mit negativer Intensität nicht konstruiert werden können. Ferner würden negative Zinsraten zu Arbitragemöglichkeiten führen. Obwohl die Möglichkeit negativer Zinsraten oder negativer Intensitäten in der Literatur mit dem Verweis auf beliebig klein wählbare Wahrscheinlichkeiten für diese Ereignisse zur Seite geschoben wird, kann die Unmöglichkeit dieser Ereignisse insbesondere bei der Modellierung der zeitlichen Struktur sowie der Bewertung komplexer Derivate ein wichtiges Anliegen sein. Aufgrund dieser Motivation können folgende Projektziele formuliert werden: Die Entwicklung eines analytisch zugänglichen, kombinierten Kredit- und Zinsstrukturmodells in reduzierter Form, das empirisch beobachtbare Regelmäßigkeiten (negative Korrelationsintensität zwischen Kreditrisikozuschlägen und risikofreier Zinsrate) in kohärenter Weise mit den mathematischen und ökonomischen Erfordernissen (positive Intensitäten und Zinsraten) berücksichtigt mit dem Ziel, den Kreditmarkt besser zu verstehen. Ein besseres Verständnis für den Begriff der Korrelationsintensität in Kredit- und Zinsstrukturmodellen und die entsprechenden Auswirkungen bei der Bewertung von ausfallsensitiven Derivaten zu entwickeln.

With this research project, we provide a novel dynamic defaultable yield curve (term structure of interest rates) model that can capture negative instantaneous correlation between credit spreads and risk-free rate documented in the empirical literature while sustaining the positivity of the default intensity and the risk-free rate. In the most simplistic case, the yield curve is a graph that represents the relationship between short and long-term interest rates, specifically in government securities (generally referred as default-free) or debt securities of companies (defaultable). By observing the yield curve, or more precisely the shape of the yield curve, economic agents can draw conclusions about the market expectation of the future of the economy. So the yield curve can be regarded as one of the most important tools for economic agents when they are making their decisions (i.e., when central bankers set their monetary policy, or when individuals deposit their savings to a bank or decide to take out a mortgage loan, or when insurance companies set their premiums etc.). Yield (credit) spread of a given corporate bond is defined to be the difference between its yield and the yield of a government bond, or more generally (and more accurately after the recent debt crisis) a reference bond, which is assumed to be risk-free and has the same time to maturity. The raison d`etre of credit spreads is the risk of default inherent in corporate bonds, in which case the bond holders receive only a partial payment or no repayment at all. Therefore, to price corporate bonds, or more generally any defaultable bond and other credit sensitive instruments, it is necessary to consider the evolution of term-structure of credit spreads and the risk-free rate, as well as the correlation structure between these under the condition that both are stochastic processes.