Nicht-Archimedische Geometrie und Analysis

Ziel dieses Projektes ist es, mehrere Zweige der nicht-archimedischen Geometrie und Analysis weiterzuentwickeln, es geht also um Themen, in denen ein Ring, der infinitesimal Elemente enthält, eine zentrale Rolle spielt. Der Hauptteil des Projektes betrifft das intrinsische Studium von klassischen Problemen der Differentialgeometrie glatter Mannigfaltigkeiten, unendlichdimensionaler Räume glatter Abbildungen und von Räumen mit singulären Teilmengen, basierend auf der Theorie der Fermatzahlen. Da in singulären Punkten verschiedene geometrische Größen unendlich werden können, z.B. die Krümmung, wird es erforderlich sein, eine Theorie von unendlich großen Zahlen als Kehrwerte von nilpotenten Infinitesimalen weiter zu entwickeln. Dies erlaubt darüber hinaus, verallgemeinerte Funktionen als quasi-standard glatte Funktionen, d.h. als gewöhnliche Funktionen, die von einem infinitesimalen oder unendlich großen Parameter abhängen, zu betrachten. Wir wollen außerdem die Beziehung zwischen diesen verallgemeinerten Funktionen und Benci`s Theorie der Ultrafunktionen klären, sowie diverse Resultate aus Colombeau`s Theorie verallgemeinerter Funktionen in die Theorie der Ultrafunktionen transferieren und verbessern. Im dritten Teil des Projektes soll gezeigt werden, dass nilpotente Infinitesimale im Ring der Fermatzahlen als Rahmen für eine Formalisierung diverser Methoden der Störungstheorie dienen können. Der letzte Teil des Projektes dient einer Verallgemeinerung der Konstruktion der Fermatzahlen im stochastischen Kontext, basierend auf dem Konzept des stochastischen klein-o Symbols zwischen stochastischen Prozessen. Außerdem sollen Grenzwertsätze und erste Eigenschaften von stochastischen Prozessen in der nicht- archimedischen Wahrscheinlichkeitstheorie hergeleitet werden. Hauptziel dieses Projektabschnittes ist es, mathematische Strukturen zu entwickeln, die es erlauben, bisher heuristisch verwendete Rechnungen mit stochastischen Differentialen sowohl in der Physik als auch in den Wirtschaftswissenschaften zu exaktifizieren und einen neuen Zugang zur Wahrscheinlichkeitstheorie zu entwickeln, der sowohl allgemeiner als auch einfacher als der klassische ist.

Das allgemeine Ziel dieses Projektes war es jene Teilbereiche der Nicht- Archimedischen Geometrie und Analysis, bei denen infinitesimale Zahlen eine zentrale Rolle spielen, weiter zu entwickeln. Dieses Ziel wurde erreicht, obwohl einige spezielle Punkte sich als komplizierter herausgestellt haben, als zuerst erwartet. Das Projekt beschäftigte sich hauptsächlich mit der intrinsischen Untersuchung von klassischen Fragen der Differentialgeometrie glatter Mannigfaltigkeiten, unendlich dimensionalen Raumen glatter Abbildungen und Raumen mit singulären Teilmengen, unter Zuhilfenahme des Ringes der Fermat-Zahlen. Diese Fragen wurden adressiert, indem ein allgemeiner Weg diese beiden Welten, die Standardwelt (ohne infinitesimale Zahlen) und die neue Welt (mit infinitesimalen Zahlen), zu vergleichen definiert und analysiert wurde. Dieser angesprochene Weg war ein passender Funktor zwischen zwei Kategorien (Welten), wobei anzumerken ist, dass die bekannte Definition des Fermat-Funktors deutlich in eine neue Version mit besseren Erhaltungseigenschaften verallgemeinert wurde.Weiters sind Fortschritte in der Theorie der Ultrafunktionen, einer Verallgemeinerung der Colombeau-Algebren und kombinatorischen Zahlentheorie zu nennen. All diese Themen wurden im Nicht-Archimedischen Kontext beschrieben, d. h. es wurden nicht die klassischen reellen Zahlen, sondern Formen infinitesimaler und infiniter Zahlen genutzt.Das Hauptziel dieses Projektes war es mathematische Strukturen zu erhalten, die es ermöglichen viele nicht formale Rechnungen in der Mathematik und der Physik mit einer modernen und rigorosen mathematischen Sprache zu formalisieren.