Faktorisierungstheorie, Idealtheorie und Additive Theorie

Faktorisierungstheorie. Sei R ein noetherscher Bereich. Dann besitzt jedes Element (nicht Null, keine Einheit) eine Faktorisierung in Atome (irreduzible Elements) von R. Im allgemeinen gibt es mehrere derartige Zerlegungen, die sich nicht nur bis auf Einheiten und bis auf die Reihenfolge unterscheiden. Das Ziel ist, die verschiedenen Phänomene der Nicht-Eindeutigkeit durch arithmetische Invarianten zu beschreiben, und diese mit algebraischen Invarianten des Ringes in Bezug zu setzen. Ist a = u1 ... uk eine Faktorisierung in Atome, so nennt man k die Länge, und die Menge L(a) aller möglichen Faktorisierungslängen heißt Längenmenge von a. Längenmengen sind endlich und nichtleer, und stellen zentrale arithmetische Invarianten dar. Multiplikative Idealtheorie. Ihre Aufgabe ist die Beschreibung der multiplikativen Struktur eines Ringes durch Ideale oder gewisse Idealsysteme (genauer, durch Stern und Semisternoperationen, durch Ideal- und Modulysteme). Ein zentrales Thema ist die Faktorisierung von Idealen (oder von divisoriellen Idealen, invertierbaren Idealen, und anderen) in Primideale (oder in Radikalideale, primäre Ideale, und andere). Additive (Zahlen- und Gruppen) Theorie. Das zentrale Thema sind Summenmengen von (meist endlichen) Teilmengen A, B einer additiven abelschen Gruppe. Das Leitmotiv in dieser Theorie besagt, dass, wenn die Summenmenge klein ist, so müssen A, B und ihre Summen- menge eine wohlbestimmte Struktur haben. Ein weiteres zentrales Thema sind Summen von Teilfolgen und Nullsummen von Folgen über abelschen Gruppen, wobei man unter einer Folge (in diesem Kontext) immer eine endliche, ungeordnete Folge meint und die Wiederholung von Elementen erlaubt ist. Fragen über derartige Folgen lassen sich zumeist in Fragen über Mengen zurückführen, und werden dann mittels Summenmengen studiert. Die Menge aller Nullsummen- folgen über einer Gruppe (mit Zusammenkleben als Gruppenoperation) bildet ein Krullmonoid. Dieses Projekt liegt in der Überschneidung obiger Gebiete, und ist durch neue Entwicklungen in diesen inspiriert. Sei R ganz abgeschlossen. Dann ist R ein Krullbereich. Faktorisierungen von Elementen entsprechen Faktorisierungen von Hauptidealen, und diese liegen im Monoid der divisoriellen Ideale. So erhält man einen Transferhomomorphismus von den Ringelementen zum Monoid der Nullsummenfolgen über der Klassengruppe von R, und dieser erhält Längenmengen. Mittels dieser Übersetzungsmaschinerie lassen sich Längenmengen in R mit Methoden der Additiven Theorie studieren. Weiters untersuchen wir Idealtheorie und Längenmengen auch in nicht-ganz- abgeschlossenen Bereichen.

Faktorisierungstheorie. In einem atomischen Monoid (z.B., in einem noetherschen Ring) besitzt jedes Element eine Faktorisierung in Atome (irreduzible Elements). Im Allgemeinen gibt es mehrere derartige (wesentlich verschiedene) Zerlegungen. Das Ziel ist, die verschiedenen Phänomene der Nicht-Eindeutigkeit durch arithmetische Invarianten zu beschreiben, und diese mit algebraischen Invarianten des Monoids in Bezug zu setzen. Ist a = u1 ... uk eine Faktorisierung in Atome, so nennt man k die Lange, und die Menge L(a) aller möglichen Faktorisierungslängen heißt Längenmenge von a. Längenmengen stellen zentrale arithmetische Invarianten dar.Multiplikative Idealtheorie. Ihre Aufgabe ist die Beschreibung der multiplikativen Struktur eines Ringes (eines Monoids) durch Ideale oder gewisse Idealsysteme (genauer, durch Stern und Semisternoperationen, durch Ideal- und Modulysteme). Ein zentrales Thema ist die Faktorisierung von Idealen (oder von divisoriellen Idealen, invertierbaren Idealen, und anderen) in Primideale (oder in Radikalideale, primäre Ideale, und andere).Additive (Zahlen- und Gruppen) Theorie. Zentrale Themen sind Summenmengen (von meist endlichen Teilmengen A,B einer additiven abelschen Gruppe), Summen von Teilfolgen, und weiters Nullsummen von Folgen über abelschen Gruppen, wobei man unter einer Folge (in diesem Kontext) immer eine endliche, ungeordnete Folge meint und die Wiederholung von Elementen erlaubt ist. Die Menge aller Nullsummenfolgen über einer Gruppe (mit Zusammenkleben als Gruppenoperation) bildet ein Krullmonoid.Dieses Projekt lag in der Überschneidung obiger Gebiete, und konnte von neuen Entwicklungen in diesen profitieren. Wir konnten neue Ergebnisse über arithmetische Invarianten (insbesondere über Langenmengen) erzielen, erstmals auch für nichtkommutative Ringe und für Ringe mit Nullteilern.