Diophantische Probleme: Analytische, geometrische und algorithmische Aspekte

In diesem Projekt werden verschiedene Diophantische Probleme mittels klassischer Methoden aus der Diophantischen Approximation sowie moderner Methoden aus der Diophantischen Geometrie untersucht. Darüber hinaus werden Transzendenzfragen, effektive Methoden und algorithmische Aspekte der Zahlentheorie behandelt. Themen von besonderem Interesse sind die André-Oort Vermutung, Bakers effektive Methode der Linearformen in Logarithmen algebraischer Zahlen und Schanuels Vermutung. Insbesondere werden wir in Kooperation mit G. Wüstholz an Fragen mitwirken die aus einer motivischen Sicht auf die Transzendenz entstehen. Dieser Zugang wurde von Kontsevich und Zagier vorgeschlagen, und Kontsevichs Vermutung ist tief und weitreichend. Ein weiterer Fokus liegt auf der sogenannten Leibniz-Vermutung und ihrem Zusammenhang mit der Transzendenztheorie. Ein anderer Teil des Projekts steht in Bezug zur Zerlegungstheorie von Polynomen. Seit J. F. Ritts Arbeiten aus den 1920er Jahren wurde diese Theorie stark von mehreren Autoren beeinflusst, insbesondere von M. Fried. Im Jahr 2000 gelang es Y. Bilu und R. F. Tichy, die Zerlegungstheorie von Polynomen mit Siegels klassischem Satz über die Endlichkeit der Anzahl der ganzzahligen Punkte auf Kurven von Geschlecht größer als 0 zu kombinieren, um ein vollständiges ineffektives Kriterium für die Endlichkeit der Anzahl der ganzzahligen Lösungen x,y von Diophantischen Gleichungen der Form f(x) = g(y) anzugeben. Im Rahmen dieses Projekts wollen wir derartige Fragen weiter untersuchen. Insbesondere werden wir bestimmte Invarianten studieren, die von Beardon und Ng sowie in aktuellen Arbeiten von Müller und Zieve eingeführt wurden. Dies beruht auf einer detaillierten Untersuchung von Monodromiegruppen von Polynomen. Explizitere Untersuchungen sind Anwendungen von Bakers Methode und von Methoden der Diophantischen Approximation auf spezielle Familien von Diophantischen Gleichungen gewidmet. Laut dem berühmten Resultat von Matijasevitch über Hilberts zehntes Problem gibt es keinen Algorithmus zur Lösung einer allgemeinen polynomiellen Gleichung F(x1,...,x) = 0 in ganzen Zahlen x1,...,xk. Daher hat die Entwicklung von Algorithmen zur Lösung speziellerer Diophantischer Gleichungen große Relevanz. In den letzten Jahrzehnten wurden in diesem Gebiet bemerkenswerte Fortschritte gemacht. In diesem Projekt behandeln wir Anwendungen auf polynomiell-exponentielle Gleichungen und auf Diophantische m-Tupel. Darüber hinaus betrachten wir ein spezielles Problem über Kettenbrüche sowie verschiedene Aspekte des Gitterpunktezählens und der Höhenschranken. Diese Techniken sind nützlich bei der Untersuchung der arithmetischen Komplexität algebraisch definierter Objekte. Während Höhen ein wichtiges Werkzeug der Diophantischen Geometrie geworden sind, ist ihre Verwendung in der Gruppentheorie und der additiven Kombinatorik eine eher neue Entwicklung. Im kommenden Wintersemester ist dem Zusammenspiel dieser Gebiete ein Spezialsemester am ESI (Wien) gewidmet, organisiert von R. F. Tichy, J. Vaaler, M. Widmer und U. Zannier. Hoffentlich ist das auch der Startpunkt für dieses Projekt.

Diophantische Probleme sind mathematische Fragestellungen, die im Bereich der ganzen Zahlen zu lösen sind. Insbesondere geht es dabei um Gleichungen oder Ungleichungen, einige davon beziehen sich auf klassische Probleme, die seit der Antike von Interesse sind. So geht z. B. die Untersuchung Diophantischer m-tupel auf Diophantus von Alexandria zurück. Gerade zu diesem Themenkreis konnten in den letzten Jahren entscheidende Fortschritte erzielt werden, wobei dieses Projekt wichtige Beiträge dazu geleistet hat. Das Projekt hat auch internationale Kooperationen maßgeblich stimuliert, was zu einer großen methodischen Breite und zur Einbindung von GastwissenschaftlerInnen und Postdocs geführt hat. Besonders zu erwähnen ist die Verleihung einer Honorarprofessur der TU Graz an Gisbert Wüstholz und das Ehrendoktorat der Universität Debrecen an Robert Tichy. Im Rahmen dieses Projekts waren auch mehrere junge Wissenschaftler und Wissenschaftlerinnen beschäftigt, insbesondere möchte ich Frau Kreso und Frau Chim erwähnen. Beide haben an der TU Graz über Diophantische Probleme promoviert. Frau Kreso hat sich in ihrer Dissertation mit Zerlegbarkeitseigenschaften von Polynomen und Anwendungen auf Diophantische Gleichungen beschäftigt. Sie erhielt für ihre Arbeit einen best paper award und ein Schrödinger Stipendium des FWF, das sie in Kanada verbrachte. Sie ist bereits eine international angesehene junge Wissenschaftlerin, die gegenwärtig ihre Schrödinger-Rückkehrphase in Graz verbringt. Frau Chim wurde gemeinsam von G. Wüstholz und R. Tichy betreut. Sie kommt ursprünglich aus Hongkong und hat die Arbeiten von Kunrui Yu über p-adische Linearformen in Logarithmen fortgesetzt. Auch sie ist schon international in Erscheinung getreten, etwa durch einen Gastaufenthalt am Max Planck- Institut in Bonn. Die Ergebnisse dieses Projekts wurden in erstklassigen internationalen Zeitschriften sowie auf Open Access-Plattformen (z.B. arxiv) publiziert. Darüber hinaus haben die Mitarbeiter und Mitarbeiterinnen des Projekts eine Vielzahl von Vorträgen bei internationalen Konferenzen über die erzielten Resultate gehalten. Der Projektleiter war mehrfach Keynote-Speaker bei Fachtagungen und Workshops. In der Schlussphase des Projekts gelang es, einen weiteren PhD-Studenten nämlich Herrn Mahadi Ddamulira für die Arbeiten an Diophantischen Problemen zu gewinnen. Zusammenfassend kann man feststellen, dass dieses Projekt eine hervorragende Arbeitsumgebung für junge international rekrutierte Wissenschaftlerinnen und Wissenschaftler geboten und ihnen einen Einstieg in eine vielversprechende akademische Karriere eröffnet hat. Dabei wurden durch die Kooperation dieser jungen Forscherinnen und Forscher mit arrivierten Persönlichkeiten und internationalen Gästen bedeutende Fortschritte in der Diophantischen Zahlentheorie erzielt, etwa bei Diophantischen m-tupel, bei der Zerlegbarkeit von Polynomen und bei polynomiell- exponentiellen Diophantischen Gleichungen.